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3-5 线性系统稳定性分析 练习 P136 3-12(1) 小结 稳定性概念 线性系统稳定的充分必要条件 劳斯稳定判据的应用 作业 P142 3-29 * 如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 b’点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。 如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。 一、稳定性的基本概念 定义：系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统稳定；否则系统不稳定。 系统的稳定性又分为两种: 一是大范围的稳定, 即初始偏差可以很大, 但系统仍稳定; 另一种是小范围的稳定, 即初始偏差必须在一定限度内系统才稳定, 超出了这个限定值则不稳定。 对于线性系统, 如果小范围内是稳定的, 则它一定也是大范围稳定的。 而非线性系统不存在类似结论。  对线性定常系统，若其脉冲响应收敛，则系统稳定，否则不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。 通常而言, 线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。控制系统的时域响应可分为稳态分量和暂态分量, 若随着时间的推移, 其暂态分量逐渐衰减到零, 系统的响应最终收敛到稳态分量, 则称该控制系统是稳定的; 而如果过渡过程是发散的, 则该系统就是不稳定的。 二、线性系统稳定的充要条件 欲满足 ,则必须各个分量都趋于零。即只有当系统的全部闭环特征根都具有负实部才满足。 线性系统稳定的充要条件：闭环极点严格位于s左半平面（或闭环极点都具有负实部）。 对于复平面右半平面没有极点, 但虚轴上存在极点的线性定常系统, 称之为临界稳定的, 该系统在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。在工程上, 临界稳定属于不稳定。 j? ? 0 稳定区域 不稳定区域 [S平面] 线性系统稳定的充要条件：闭环极点严格位于s左半平面（或闭环极点都具有负实部）。 三、劳斯-赫尔维茨稳定判据 高阶方程求解不易，用求特征根方法判定稳定性不现实。 设系统特征方程为： 根据特征方程系数判定系统稳定性 1、赫尔维茨稳定判据 （1）必要条件：ai0（ ①不缺项， ②系数同号）。若不满足ai0，则系统是不稳定的。若满足，则需进一步判断。 不稳定 不稳定（缺3次项） 可能稳定,需进一步判断 判定以下系统的稳定性 （2）线性系统稳定的充分必要条件: 特征方程各项系数均大于零,即ai0 下列行列式和各阶顺序主子式全部为正。 已经证明，在特征方程各项系数均大于零时，赫尔维茨奇次行列式全为正，则赫尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。 例题： ，判定系统稳定性。 解： 所有系数均大于零，故有 系统不稳定 2、劳斯稳定判据 (1)系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数ai0均大于零。 ①不缺项。 ②系数同号。 它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。 (2)劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变号次数为闭环极点在s右半平面的个数。 例题： ，判定稳定性及在右半平面闭环极点个数 系统不稳定，第一列系数变号两次，有两个闭环极点在s右半平面。 5 0 -6 5 1 0 4 2 5 3 1 s0 s1 s2 s3 s4 四、劳斯判据特殊情况 1、某行第一列元素为0，该行元素不全为0时 ：用因子 (s+a)乘以原特征方程，a为任意正数，对新特征方程采用劳斯判据。 例题： ，判定s右半平面中闭环根的个数。 ∞ s1 2 0 s2 -3 1 s3 以（s+3)乘以原来方程得到 6 -7 -3 -2/3 0 3 6 1 s2 s1 s0 s3 s4 第一列系数变号两次，有两个正实部根，实际上 20 6 2、在劳斯阵列表中，如果某一行中的所有元素都等于零，则表明在s平面内存在绝对值相等符号相异的特征根：两个大小相等符号相反的实根或一对共轭纯虚根或对称于实轴的两对共轭复根, 系统处在临界稳定状态或不稳定状态。 在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取代全零行各项，最后用劳斯判据加以判