八年级数学对一道数学习题的探究华东师大版.docVIP

对一道数学习题的探究 [关键词] 数学习题；探究； 矩形； 动点 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] C 数学习题是数学教材的重要组成部分，在每一道习题的解答过程中都体现着重要的数学思想方法，因此对习题的探究是数学学习者能力和素质提高的重要手段。下面就是我对华东师大版八年级数学（下）习题20.2第三题的探究过程： 以P点到对角线AC和BD的距离在变化，但距离的和是不是在变化呢？如果变化这道题目将有比较多的答案，所以我们猜想得：“动点Ｐ到AC和BD的距离之和是一个定值”。 一 特殊解法 （当P点与A点或D点重合时） 1. P 点与A点重合 解：过A点作AE⊥BD，垂足为E点 （所作的垂线AE的长度就是P A 点到AC和BD的距离之和） OOOO 在Rt△ABD中 由勾股定理得 BD=17 e 由面积相等得 B 1/2AD·AB=1/2BD·AE AE=120/17 2. P点与D点重合的情况与A点的类似 二 一般解法 （当P点与A点和D点不重合时） 在△PBD中 根据面积相等得 ?BD·PG = ?PD·AB 解得 PG=8·PD/17 在△PAC中 根据面积相等得 ?AP·DC = ?AC·PF 解得 PF=8·PA/17 所以：距离之和=PG+PF=8（PD+PA）/17=8·AD/17=8×15/7=120/17 三 规律探究 （证明A点到对角线BD的距离AE就是动点P到AC和BD的距离之和） 解：在AD上任意取一点P，过P点作 PF⊥ PF⊥AC，PG⊥BD垂足分别为点F和G， p 过A点作AE⊥BD垂足为点E，过 P点作PH⊥AE垂足为点H 如图所示 ∵ AE⊥BD PG⊥BD ∴AE∥PG ∴∠EAD=∠DPG 又 ∵ 矩形ABCD ∴OA=OD ∴∠DAO=∠ADO 又 ∵ PF⊥AC ∴ ∠DAO+∠APF= 即 ∠ADO+∠APF= 又 ∵PG⊥BD ∴∠ADO+∠DPG= ∴∠APF=∠DPG ∴∠EAD=∠APF 总结：通过上题的探究，我们可以得到“多思考、多总结”是数学能力和素质提高的法宝。 用心 爱心 专心 O D C B A A D F B C O G P 如图：点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB，BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。 分析：题目探求的是动点P到两条对角 线的距离之和，由于P点在AD上运动，所 如图所示；在线段AD上任意取一点P，作PF⊥AC，PG⊥BD垂足分别为F和G 解：连结PB，PC D 在△AHP和△PFA中 ∠AHP=∠PFA=90， AP=PA （公共边） ∴△AHP≌△PFA （AAS） ∴PF=AF 又 ∵∠PHE=∠HEG=∠EGP=90 ∴四边形PHEG是矩形 ∴PG=HE ∴PF+PG=AH+HE=AE 所以：动点Ｐ到AC和BD的距离之和是一个定值 （即AE的长度） P H F G C E E