高三复习指数对数函数及其应用老师版.docVIP

指数对数函数及其应用 一、指数运算 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且∈*． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 例题1： 3．实数指数幂的运算性质 （1）； （2） ； （3）． 例题2：若，则 。 例题3：若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ） A、 B、 C、 D、 例题4：若，则等于 （ ） A、 B、 C、 D、 （二）指数方程计算 例题1：解下列方程 （2） （3） 例题2：若为方程的两个实数解，则 。 例题3：若，求的值。 例题4：若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。 （三）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）对于指数函数，总有； 例题5：函数是（ A ） A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 例题6：设，且的图象过点， （1）求表达式， （2）试求 的值， 例题7：设，，试确定的值，使为奇函数 例题8：已知函数, (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明是上的增函数。 例题9：求函数y＝的定义域、值域和单调区间． 例题10：若函数y＝a2x＋2ax－1(a0且a≠1)在x[－1,1]上的最大值为14，求a的值． （3） （4） （2）两边取对数得，即， 解得或， 所以原方程的解为或． （3）由原方程得： 经检验，只有符合，所以原方程的解为. （4）原方程可转化为 经检验，只有符合，所以原方程的解为。 （5）两边取对数， 解方程得 或，经检验都是方程的根。 例题2：已知关于x的方程（1）当m=4时，解此方程； （三）对数函数 1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：，且． 2、对数函数的性质： a1 0a1 定义域x＞0 定义域x＞0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0） 例题4：设集合等于（ ） A． B． C． D． 例题5：函数y=的定义域为（ ） A．(，＋∞) B．［1，＋∞ C．( ，1 D．(－∞，1) 例题6：函数 恒过定点 ( ) A (2.5 , 1) B ( 3, 1 ) C ( 2.5, 0 ) D ( 1, 0 ) 例题7：函数的定义域为（ ） B、 C、 D、 例题8：已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. 例题9、已知函数，判断的奇偶性和单调性。 ， ∴是奇函数 （2），且， 则， ∴为增函数。 例题10、已知函数， (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性。 （1）∵，∴，又由得， ∴ 的定义域为。 （2）∵的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数。 例题11：已知函数的定义域为，值域为，求的值。 由，得，即 ∵，即 由，得，由根与系数的关系得，解得。 第 5 页 共 6 页