高三数学定积分与微积分的基本定理.docxVIP

定积分与微积分的基本定理定积分（1）概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式 常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）（2）定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（ab），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。例1．（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y’==；（5）y＝－x＋５－y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。例2已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于 (　　)A．0 B．4 C．8 D．16解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D例3.如图，阴影部分面积等于(　　)A．2 B．2－C. D.[答案]　C例4:设f(x)＝则f(x)dx等于 (　　)A. B. C. D．不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C例5．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 (　　)A．1 B. C. D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.答案：B巩固训练1．已知函数，则的大致图象是（ ）OyxyxyOxOxyOA BCD2．=（ ）A． B．2eC． D．3．若，且a＞1，则a的值为（）A．6B．4C．3D．24．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（　 ）A．　B．　C．　D．5．已知b＞a，下列值：，，||的大小关系为（）A．||≥≥B。≥||≥C．= ||=D．= ||≥6．将和式的极限表示成定积分（ ）A． B． C． D．7.7. 如图，阴影部分的面积是（）A．B．8. ．9. = 10． 。11．将和式表示为定积分 ．12．计算以下定积分：；；；。（5）；（6）；（7）。 (8) (2x2－)dx； (9)(＋)2dx； (10)(sinx－sin2x)dx；13. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.14. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（3）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.定积分的换元积分法（一）基本概念1．定积分的换元积分法设函数在上连续，令，且满足：　（1），；　（2）当从变化到时，单调地从变化到；（3）在上连续．则　．使用定积分换元积分法注意事项：1．换元时可以令或；2．积分限要相应换成新变量的积分限（不定积分换元积分法不考虑积分限问题）；3．不必象计算不定积分把求出的原函数换成原来变量的函数．2．定积分的分部积分法设函数与在区间上有连续的导数，则或简写成．分部积分公式的推导：由于求上式两端在上的定积分，注意到即移项得（二）基本运算1．利用凑微分法计算定积分前后形式保持一致，将新的积分变量看作被积函数的自变量例1 计算下列定积分．(1)　(2)　(3)(4) (5) 分析　将原积分写成的形式，注意积分限不要变更．2．利用根式代换计算定积分被积函数含根式且根式下为一次函数，可考虑用根式代换．例2 计算下列定积分．(1)；　　(2) 分析　将整个根式作为新变量，求出以及，将换为，同时变换积分限．解　(1)令，，则，；当时，；当时，(2)令，则，当时，；当时，3．利用三角代换计算定积分被积函数含根式且根式下为二次函数，可考虑用三角代换．例3 计算下列定积分．分析：形如，作代换，，；解：令，则，当时，；时，．