二阶变系数线性微分方程的求解(宋婉芸2).docVIP

二阶变系数线性微分方程的求解 宋婉芸 指导教师:蔺海新 (河西学院数学与应用数学专业2017届2班1350701231号, 甘肃张掖 734000) 摘 要 主要讨论了二阶变系数线性微分方程的求解问题,本文利用变量代换的方法将二阶变系数线性微分方程化为Riccati方程,在利用已有的结果得出二阶变系数线性微分方程的通解. 关键词 二阶变系数微分方程；通解；特解 中图分类号 0175 1 引言 二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是应用上都占有重要位置．对于常系数的线性微分方程的通解结构，在一般的著作文中有十分完美的结论，但求解二阶线性变系数微分方程却无通用的求解方法．其在实际中总存在着困难，而且也一直是人们感兴趣的研究课题，如刘琼在文献［1］中讨论了方程 (1) 当系数满足时，其通解为, 其中,为常数 2 预备知识 法国数学家刘维尔(Liouville)1841年证明了著名的黎卡提(Riccati)方程 (2) 一般是不可积的，即不能用初等积分法求解．文献［2－4］均给出了待定系数满足以下条件时Riccati 方程的通解，如 2.1对于方程(2)，若系数满足，则方程(2)可积，且其通解为，其中为常数. 2.2 对方程(2)，若系数满足，则方程(2)可积，且其通解为 ，其中为常数. 3 定理及其证明 定理1 [1]对于方程(2)，若系数满足,则方程(2)可积，且其通解为 ，其中为常数． 证明 当，时， 方程(2)化为 (3) 显然为方程(3)的特解．现令,则 ， 将其代入方程(3)中并整理得 ； 再令，则有 ， 根据一阶线性非齐次微分的解法(常数变易法)可解得其通解为 ,其中 为常数.所以 , 则， 从而得方程(3)的通解为,其中为常数. 本文利用变量代换的方法将二阶变系数微分方程 (4) 化为Riccati 方程，再利用已有的结果得出二阶线性变系数微分方程的通解． 定理2[2] 若方程(4)的系数满足，则其通解为 ,其中 ,为任意常数. 证明 设，则，将, 代入方程(1)中并整理得：，显然是方程(4)的解， 而， 即 (5). 令，则方程(5）即为 （6） 是一个关于的Riccati 方程，而且由于,即方程(6)的系数满足引理1的条件,所以方程(6)可积且其通解为 ，其中为任意常数. 所以 从而解得,其中 ,为任意常数. 而当时,， 所以方程(4)的通解为 ,其中 ,为任意常数. 定理3[3] 若方程(4)的系数满足,则其通解为,其中 ,为任意常数. 证明 设，则，将,,代入方程(4)中并整理得 , 显然为方程(4)的解,而 即 (7) 因为，则方程(7)化为 （8） 令，则方程(8)化为 （9） 因为，满足引理2的条件， 所以方程(9)可积且其通积分为,其中为常数， 所以,其中 ,为任意常数. 而当时,,所以方程(4) 的通解为 ,其中 ,为任意常数. 定理4[4] 若方程(5)的系数满足,则其通解为,其中 ,为任意常数. 证明 设，则 将 ,代入方程(4)中并化简整理得 ， 显然y=0为方程（4）的解，而 ， 即 （10） 再令，则方程（10）即为 （11） 因为 ,而 ， 即方程(10)的系数满足定理1的条件，所以方程(10)可积且其通解为,其中为常数， 所以,其中 ,为任意常数. 而当时,,所以方程(4)的通解为 ,其中 ,为任意常数. 4 方程的求解 求二阶变系数线性微分方程解时, 必须观察二阶变系数线性微分方程的特征.如果是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程, 就用特殊类型的二阶变系数线性微分方程的求解方法求之;如果不是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程, 就用二阶变系数线性微分方程的一般求解方法求之. 二阶变系数线性微分方程的一般求解步骤 第一步:构造形式 第二步:计算出, 第三步:将第二步的结果代入上述公式求出通解来. 例1求方程的通解. 解 ， 满足定理2 的条件;所以其通解为 ,其中 ,为任意常数. 例2求方程的通解. 解 满足定理3的条件, 所以其通解为，其中 ,为任意常数. 例3 求方程的通解