二阶常微分方程的解法.docVIP

南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院 毕 业 论 文（设 计） （ 一 六 届） 题 目： 二阶常微分方程的解法 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 潘陆 学 号 指导教师： 刘陆军 南京师范大学泰州学院教务处 制 摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。 关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换 Abstract: The main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem. Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 目录 1 绪论 3 1.1 二阶常微分方程的起源和发展史 3 1.2 二阶常微分方程的介绍 3 1.3 研究二阶常微分方程的目的与意义 4 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 5 2.1 特征方程法 5 2.1.1 特征根是两个实根的情形 5 2.1.2 特征根有重根的情形 6 2.2 常数变易法 7 2.3 拉普拉斯变换法 9 3 二阶常微分方程解法的应用（分析例题） 11 3.1 特征方程法 11 3.2 常数变易法 13 3.3 拉普拉斯变换法 14 4 结论和启示 16 谢 辞 18 参考文献 19 1 绪论 1.1 二阶常微分方程的起源和发展史 既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的发现是人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。在发现了天王星之后，进行天文观测的人们发现它所处的位置总是和万有引力计算出的位置有些许不同，于是有人质疑万有引力定律的正确性。但也有一部分人认为，这也可能是天王星在受到一颗尚未发现的行星的吸引力才会造成的改变。不少人坚信这种假设是正确的，但却很少有人找到了正确的方法并付诸实践。而英国的一个学生亚当斯显然不是其中之一，他勇敢接受了这项任务，运用手头仅有的资料建立起微分方程，成功求出了海王星的位置与下次出现的时间。1843年10月21日，满怀信心的亚当斯把结果寄给了天文台长艾利，但换来的却是质疑，艾利并不相信籍籍无名的他。然而在两年后，另一名青年勒威耶也计算出了同样的数据，并把计算的结果给予了位于柏林天文台的助理员卡勒，在那个值得铭记的夜晚，卡勒在计算出的位置上发现了第七颗行星海王星。 从二十世纪三十年代以来，常微分方程的研究像是走上了快车道，迅速发展并建立起了多个分支。 1927－1945年期间定性理论的主要研究是与无线电技术紧密联系在一起的。在