三重积分及其计算.pptVIP

第二节 三重积分 一、三重积分的概念 非均匀分布立体的质量 　　设有空间立体?, 当? 的质量是均匀分布时, 则?的质量M= ? 的体密度× ? 的体积. 　　若? 的质量不是均匀分布的, 则不能上述方式算质量M . 　　设空间立体?. 其质量非均匀分布, 体密度 ? (x , y , z)连续, 求? 的质量 M. 引例 (i) 将?分成 n 个小立体 ?1, ?2,…, ?n ,记 取 ?(? i , ?i , ?i)? ? i , 以? (? i , ? i , ?i )作为? i mi ? ? (? i , ?i , ?i) ?V i 的体积, i = 1, 2, …, n. 由于? (x , y , z) ?Vi 表示的?i 时, 在 ?i 上 ? (x , y , z) 的 连续, 从而当?i 很小 变化不大，可近似看作不变. 的体密度.从而, ? i的质量 (iii) 因此, ? 的质量 定义 其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同 若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。 二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 故在直角坐标系下的体积元为 三重积分可写成 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单 ①先单后重 ——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。 化三次积分的步骤 ⑴投影，得平面区域 ⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 例1 将 化成三次积分 其中 为长方体，各边界面平行于坐标面 解 将 投影到xoy面得D，它是一个矩形 在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线 交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （l m) o x y z m l a b c d D 。(x,y) 例2 计算 其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域 D x y z o 解 画出区域D 练习 解 解 练习 分析： 解 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分 先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分 若 f(x,y,z) 在 上连续 介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之间 用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域 则 ②先重后单 易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便， 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算 尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时 例5 计算 解 故 例6 解一 解二 先单后重 将 投影到 xoy 面得D 先重后单 （用极坐标，用对称性） 此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法 三、小结 三重积分的定义和计算 （计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素 思考题 选择题: 练 习 题 练习题答案