与圆有关探索型问题.docVIP

与圆有关探索型综合题 探索型问题往往涉及面很广，主要是探索题设结论是否存在，或是否成立，或是让学生自己先猜想结论，再进行研究从而得出正确的结论等等，这些题通常有一定的难度，几乎在全国各地的中考数学试卷中都能见到, 先看几个例子． 例1、（2006浙江舟山）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC 1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论． （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由． （3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC m，AF n，用含n的代数式表示m． 解析（1）两个三角形全等 ∵△AOB、△CBD都是等边三角形 ∴OBA ∠CBD 60° ∴∠OBA+∠ABC ∠CBD+∠ABC 即∠OBC ∠ABD ∵OB AB，BC BD △OBC≌△ABD （2）点E位置不变 ∵△OBC≌△ABD ∴∠BAD ∠BOC 60° ∠OAE 180°-60°-60° 60° 在Rt△EOA中，EO OA·tan60° 或∠AEO 30°，得AE 2，∴OE ∴点E的坐标为（0，） （3）∵AC m，AF n，由相交弦定理知1·m n·AG，即AG 又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2 EG·EF 在Rt△EOA中，AE 2 （）2 （2-）（2+n） 即2n2+n-2m-mn 0 解得m ． 例2、（2006江西南昌）如图3已知抛物线，经过点A 0，5 和点B（3 ，2） 1 求抛物线的解析式： 2 现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由； 3 若⊙Q的半径为r，点Q 在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值 解析 1 由题意，得； 抛物线的解析式为 2 当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况． 设点P坐标为 ，则 则当⊙P与y轴相切时，有|x0| 1，x0 ±1 由，得， 由，得 当⊙P与x轴相切时有 ∵ 抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方．∴ 由，得，解得y0 2，B 2，1 综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为： 3 设点Q坐标为 x，y ，则当⊙Q与两条坐标轴都相切时，有y 由y x得解得 由，得此方程无解 ∴⊙O的半径为 例3、（2006山东日照）如图（4），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP·AC+BP·BD AB2． 证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB ∠AMP 90ｏ， ∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上． 由割线定理得： AP·AC AM·AB，BP·BD BM·BA， 所以，AP·AC+BP·BD AM·AB+BM·AB AB·（AM+BM） AB2． 当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD AP2+BP2 AB2成立，那么： （1）如图（5）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD AB2是否成立？为什么？ （2）如图（6）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来． 解析 （1）成立． 证明：如图（5），∵∠PCM ∠PDM 900 ∴点C、D在以PM为直径的圆上， ∴AC·AP AM·MD，BD·BP BM·BC， ∴AC·AP+BD·BP AM·MD+BM·BC， 由已知，AM·MD+BM·BC AB2， ∴AP·AC+BP·BD AB2． （2）如图（6），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC， 则C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC AB·AM，① D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD AB·BM，② 由图象可知：AB AM-BM，③ 由①②③可得：AP·AC-BP·BD AB·（AM-BM） AB2．