ABC是等腰直角三角形BC=AC,直角顶点C在x轴上,一锐角顶点B在y轴上.docVIP

△ABC是等腰直角三角形，BC AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标．（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论① CO?AF OB 为定值；② CO+AF OB 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加并求出定值，不必证明． 考点：坐标与图形性质；直角三角形全等的判定． 专题：计算题． 分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．（2）此题有两种证法：①延长AE交BC的延长线于点，证明△ABE≌△FBE即易求AE＝1 2 BD；②作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD．证明Rt△GDF≌Rt△EAD即易求AE＝ 1 2 BD CO?AF OB 1，若证明则过点A作AM⊥CO于M，证明△BOC≌△COA即可． 解答：解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）∴AD OC（1分）在Rt△ADC和Rt△COB中 AD＝OC AC＝BC AE＝ 1 2 BD∵∠ABE ∠FBE，∠AEB ∠FEB 90°，BE BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），得AE EF 1 2 AF，在△BCD和△ACF中， ∠CBD＝∠CAF AC＝BC ∠BCD＝∠ACF AE＝ 1 2 BD 1 2 BD∴∠GBD ∠GDF∵y轴平分∠ABC，且∠ABC 45°∴∠GBD ∠GDF 22.5°∵∠AGD ∠GBD+∠GDF∴∠AGD 45°∵∠BAC 45°∴∠AGD ∠BAC∴DG AD∵∠CBD+∠CDB ∠DAE+∠ADE 90°，且∠CDB ∠ADE∴∠DAE ∠CBD 22.5°∴∠DAE ∠GDF在Rt△GDF和Rt△EAD中 ∠GDF＝∠DAE ∠GFD＝∠AED GD＝AD 1 2 BD（3）结论 CO?AF OB 成立（9分） CO?AF OB 1（10分） 点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题较难，尤其（3）须巧妙借助辅助线作出全等三角形．