欧拉的一道经典的数学题.docVIP

欧拉的一道经典的数学题 欧拉（1707-1783）是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。 欧拉编写的《无穷小分析引论》、《微分法》和《积分法》产生了深远的影响。 瑞士大数学家欧拉曾经根据一次遗产纠纷编了一道经典的数学题，题目是这样的： 父亲临终时写下遗嘱，按照下列方法分配遗产：? 老大分得100元，然后再得剩下的十分之一；?老二分得200元，然后再得剩下的十分之一；老三分得300元，然后再得剩下的十分之一；老四分得400元，然后再得剩下的十分之一；照此规律逐一分给孩子，遗产全部分完以后，每个孩子都很满意，都称赞父亲一点也不偏心，因为每个孩子分得的遗产都是相等的。问：遗产总数，共有孩子个数和每个孩子分得的遗产数分别是多少？? 解题： 设：遗产总数为x,以老大，老二所分得的遗产相等立方程 100+ X-100 ×10% 200+[x-100- X-100 ×10%-200]×10%。解得x 8100? 每人分得：100+ 8100-100 ×10% 900。共有：8100/900 9人 一道有趣的数列应用题 有一道有趣的数列应用题，学生普遍感到疑难： 某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该渔船每年捕捞总收入为50万元。 （1）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去购船成本及所有费用之差为正值）？ （2）该渔船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由. 解：设经过n年，总盈利为y万元,则有 y 50n-[12+16+…+ 4n+12 ]-98 -2n2+40n-98 -2 n-10 2+102, 1 当开始盈利时,y 0，即-2n2+40n-98 0 ,解得10-√51 n 10+√51, n 3,4,… ,17. 所以从第3年开始盈利. 2 ①平均盈利为 -2n2+40n-98 /n -2 n+49/n +40≤12 n 7时取得最大值 ，即当7年时平均盈利最大,此时盈利总额为7×12 84万元, 若以26万元价格卖出,共获利110万元. ②当盈利总额达最大值时，y - x-10 2+102取得最大值，所以10年后盈利达到最大,此时盈利总额为102万元,若以8万元价格卖出,共获利110万元. 综上所述，两个方案均盈利110万元，但方案①只用7年，方案②要用10年，所以方案①较为合理. 评点：此题的难点在理解“平均盈利”和“盈利总额达到最大值”两个概念．平均盈利是将盈利函数除以年份，而盈利总额达到最大值是将盈利函数求其最大值． 　　1、甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。已知一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是98件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份？ 　　分析与解：由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂生产的玩具数。即一月份乙厂生产了106-98 8件，甲厂生产了98-8 90件。乙厂生产的玩具数量每月增加一倍，有8×24 90，8×23 90?，所以在4月后。即乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在5月份。 　　2、华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届在1991年举行，以后每两年举行一届。第一届华杯赛所在年份的各位数字和是? 1+9+8+6 24。前二届所在年份的各位数字和是? 1+9+8+6+1+9+8+8 50。问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和?等于多少？ 　　分析与解：由题中所给规律知，前50届在20世纪内有7次赛事，在2l世纪内有43次赛事。 　　在20世纪内，已知A2 50，其余5届年份各位数字的和是： 　　5× 1+9+9 + 1+3+5+7+9 95+25 120。A1 A2+120 170。在21世纪内的前45届年份的数字之和是：2×45+ 1+2+…+8 ×5+ 1+3+5+7+9 ×9 495，前43届年份的数之和是：495-2-8-7-2-8-9 459。于是A50 170+459 629。 　　3、某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作。现知该车间1月份每人每天生产一件产品，共生产1994件。试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人 分析与解：1月份共有3l天，所以这个车间的原有工人至少生产出了63×31 1953件，或增加3l的倍数，但因不超过1994件，所以工厂的原有工人生产了1953或1984件。