52绝对值三角不等式课件(人教A版选修4-5).pptVIP

* * * |a|= |a| A a O x |a-b| A a B x b 几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. |a-b|= 几何意义： 表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度 类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？ 从“运算”的角度考察绝对值不等式。 如：对于实数a,b，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。 用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？ x ? ? ? ? O a b a+b x ? ? ? ? O a b a+b ? ? ? ? x O a b a+b ? ? ? ? x O a b a+b ab0 ab0 (1)当ab0时, x ? ? ? ? O a b a+b x ? ? ? ? O a b a+b a0,b0 a0,b0 由图可得: |a+b|=|a|+|b| (2)当ab0时 ? ? ? ? x O a b a+b ? ? ? ? x O a b a+b a0,b0 a0,b0 |a+b||a|+|b| |a+b||a|+|b| (3)如果ab=0,则a=0或b=0 易得: |a+b|=|a|+|b| 综上所述,可得: 定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b|?|a|+|b| 当且仅当ab?0时,等号成立. 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结果? 当向量 共线呢? x y O 在不等式|a+b|?|a|+|b|中, 当向量 不共线时,则由向量加法的三角形法则, 用向量 分别替换实数a,b, 向量 构成三角形, 故可得向量形式的不等式: |a+b||a|+|b| 故该定理的几何意义为: 三角形的两边之和大于第三边. 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式: |a+b|?|a|+|b| 证明: 当ab?0时,ab=|ab| |a+b| 当ab0时, ab=-|ab| |a+b| 故 |a+b|?|a|+|b| 当且仅当ab?0时,等号成立. 同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与 |a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系? 如: 如果a,b是实数,则 |a|-|b|?|a-b|?|a|+|b| 再如: 如果a,b,c是实数,则 |a-c|?|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立. 定理2: 如果a,b,c是实数,则 |a-c|?|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立. 分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c) 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| ?|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立. 则可使用定理1的结论进行证明. x ? ? ? a b c A B C x ? ? ? ? b c a A B C ? ? ? ? x a c b A B C 在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C, (1)当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c| (2)当点B在点A,C之外时,|a-c||a-b|+|b-c|