高考数学(理)热点专题专练三角函数平面向量立体几何概率与统计型解答题.docVIP

高考专题训练(二十二)　三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题时间：45分钟　分值：50分 1．(2012·北京)(12分)已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间． 解　(1)由sinx≠0得x≠kπ(kZ)， 故f(x)的定义域为{xR|x≠kπ，kZ}． 因为f(x)＝ ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 ＝sin－1， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)函数y＝sinx的单调递增区间为 (kZ)． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(kZ)， 得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(kZ)． 所以f(x)的单调递增区间为和 (kZ)． 2. (2012·湖北)(12分)如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． (1)当CF＝1时，求证：EFA1C； (2)设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值． 解　解法一：过E作ENAC于N，连接EF. (1)如图，连接NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C， 又底面ABC∩侧面A1C＝AC，且EN底面ABC， 所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影． 在RtCNE中，CN＝CEcos60°＝1. 则由＝＝，得NFAC1，又AC1A1C，故NFA1C. 由三垂线定理知EFA1C. (2)如图，连接AF，过N作NMAF于M，连接ME. 由(1)知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF. 所以EMN是二面角C—AF—E的平面角，即EMN＝θ. 设FAC＝α，则0°α≤45°. 在RtCNE中，EN＝EC·sin60°＝， 在RtAMN中，MN＝AN·sinα＝3sinα， 故tanθ＝＝.又0°α≤45°，0sinα≤. 故当sinα＝，即当α＝45°时，tanθ达到最小值． tanθ＝×＝.此时F与C1重合． 解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)， 于是＝(0，－4,4)，＝(－，1,1)，则·＝(0，－4,4)·(－，1,1)＝0－4＋4＝0，故EFA1C. (2)设CF＝λ，(0λ≤4)，平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，λ)． ＝(，3,0)，＝(0,4，λ)，于是由m，m可得 即取m＝(λ，－λ，4) 又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是由θ为锐角可得cosθ＝＝，sinθ＝，所以tanθ＝＝. 由0λ≤4，得≥，即tanθ≥＝. 故当λ＝4，即点F与点C1重合时，tanθ取得最小值. 3．(2012·四川)(13分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD＝120°，且PAN平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点． (1)证明：MN平面ABCD； (2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 如图，在三棱锥P－ABC中，APB＝90°，PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小； (2)求二面角B－AP－C的大小． 分析　本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力． 对于(1)，依据直线与平面所成的角的意义，确定相关直线在相应平面内的射影，由此明确所求角的位置，再通过计算求出答案即可；对于(2)，根据二面角的平面角的意义，借助于三垂线定理，构造出相关的二面角所对应的平面角，再通过计算求出答案． 解　解法一：(1)设AB的中点为D，AD的中点为O.连结PO、PD、CO、CD.由已知，PAD为等边三角形．所以POAD. 又平面PAB平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO平面ABC. 所以OCP为直线PC与平面ABC所成的角． 不妨设AB＝4，则PD＝2，CD＝2，OD＝1，PO＝. 在RtOCD中，CO＝＝. 所以，在RtPOC中，tanOCP＝＝＝. 故直线PC与平面ABC所成的角的正切值为. (2)过D作DEAP于E，连结CE. 由已知可得，CD平面PAB. 根据三垂线定理知，CEPA. 所以CED为二面角B－AP－C的平面角． 由(1)知，DE＝. 在RtCDE中，tanCED＝＝＝2. 故二面角B－AP－C的正切值为2. 解法二：(1)设AB的中点为D，作POAB于点O，连结CD. 因为平面PAB平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD， 所以PO