结构化方法论述.pptVIP

引子： 美国新数运动的发起人之一是教育家布鲁纳。他在1959年“全国科学院”召开的课程改革会议上发表了“教育过程”的总结报告，提出了四个新的思想：（1）学习任何学科，务必使学生理解该学科的基本结构；（2）任何学科的知识都可以用某种方式教给任何年龄的学生；（3）让学生像原来科学家那样来亲自发现所要学习的结论；（4）激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。 结构化方法的形成过程（1） 结构化方法的创始人是布尔巴基学派 全部数学或大部分数学都可以依照结构的不同而加以分类。用公理化方法抽象出各个学科的各种结构，找出各数学分支间的结构差异，这样，就能够获得各数学分支的内在联系的清晰图景， 数学的发展无非是各种结构的建成和发展而已。 结构化方法的形成过程（2） 结构化方法是现代公理化方法发展的产物 结构化方法本质上可以看成是近代形式化公理化方法的一个发展。 数学公理化方法的着眼点是每一个数学分支，结构化方法则采取全局观点，着重分析各个数学分支之间的结构差异和内在联系，而且对每门数学也着重分析其结构特征，或关于它的某些基本结构的组成方式，至于建成每一门数学分支的具体方法也还是公理化方法。 结构化方法的形成过程（3） 结构化方法产生的基础是集合论 集合论的产生是数学史上的一次伟大变革，因为集合论的出现，使得数学的研究对象更加宽泛，不再只是局限于数和形，置换、运动、变换、算子、模式等等都成为数学的研究对象，从而使数学的范围大大地扩展了，同时也使得数学更加抽象，更加概括，分支更加繁杂。正因如此，布尔巴基学派才想到研究数学的结构，希望用结构统一数学，而集合论是数学各分支的基础，作为结构的基础也是顺理成章的了，正如有的数学家所说：集合的概念为结构提供了活动的场地，成为结构的“毛”所附的那张“皮”。布尔巴基学派的第一本著作就是《集合论》。 结构化方法的形成过程（4） 结构化方法受到各种数学统一方法的影响 19世纪后期，德国数学家克莱因就提出用“群”的观点统一几何学的厄兰格（Erlangen）计划； 19世纪末20世纪初出现了公理化运动，它也成为统一数学的基础； 20世纪20年代，美国的伯克霍夫提出用“格”来统一代数体系； 20世纪30年代，布尔巴基学派在公理化的基础上提出用结构统一数学；与此同时，美国的麦克莱和艾伦伯格提出“范畴”与“函子理论”，以此作为统一数学的基础。 布尔巴基学派用结构方法统一数学，受到他之前和同时代的其他数学家关于数学统一方法的影响就是自然的了，尤其是公理化方法的影响。布尔巴基学派统一数学的观点是结构，但具体做法还是公理化。 结构化方法的概念和分类 一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，但在该集合中引进了运算或变换，就形成了结构。结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的。 用结构观点研究数学结构的方法，就是结构化方法。它是利用公理化方法抽象出各种数学学科的结构，找出各学科的结构差异，从而获得各学科的内在联系的清晰图象。 布尔巴基学派认为数学结构可以分为三类：代数结构、序结构和拓扑结构。 代数结构 群、环、域、代数系统、范畴、线形空间等都具有代数结构，其中群结构是基本的代数结构。 {G·}满足： （1）a,b∈G,有a·b∈G; (2) a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c); (3)存在单位元i，使得对任意的a∈G,有a·i=i·a=a; (4) a∈G,存在 ，使得a· = ·a=i。 这几条可以看成是群的公理。 代数结构 整数集合Z对于加法构成群。对于加法和乘法构成环。 有理数集合对于加法、乘法构成域。 平面上的平移变换构成群。 多项式按着加法能够构成群。 向量按着加法也能够构成群。 自然数集合对于加法构成半群。 序结构 主要有偏序集（又叫半序集）、全序集和良序集。 偏序集：如果非空集合G的元素之间定义了一个关系“≤”，该关系满足性质： 自反性：若a∈G，则a≤a； 反对称性：若a,b∈G，a≤b，b≤a，则a=b； 传递性：若a,b,c∈G，a≤b，b≤c，则a≤c.那么{G，≤}叫做偏序集。 序结构 全序集：具有上述三个条件以外，还具有可比性：a,b∈G，a≤b，b≤a中至少有一个成立。那么{G，≤}叫做全序集。 序结构 良序集：设E是全序集A的一个子集，如果E的元素a满足：对一切x∈E，有a≤x，则称a为E的最小元。如果全序集A的任一非空子集都有最小元，则称A为良序集。 例子： 自然数集合N在通常的大小关系“≤”下是一个良序集。 实数集合R在通常的大小关系“”下是一个全序集，但不是良序集。 定义集合D={（a,b）∣a,b