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第四讲　离散型随机变量的期望与方差 [知识梳理] ［知识盘点］ 1．　　平均水平　　　　标准差　　　 偏离于均值的平均程度　　相同单位　 2．AE+b　　a2D　　P　　P（1－P）　nP nP(1－P)　 [基础闯关] 1．C　　2．B　　3．B　　4．B　　5．5.5　　6． [典例精析] 变式训练： 1．解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ=x1+x2=，Dξ=x12+x22－Eξ2=， 从而得方程组 解之得或 而x1x2，∴x1=1，x2=2. ∴ξ的分布列为 ξ 1 2 P 2．解：显然是随机变量. (1). (2)由的期望为得，即. 根据表中数据，得，即. 联立解得 3. 解: (Ⅰ)记甲投篮1次投进为事件A1 , 乙投篮1次投进为事件A2 , 丙投篮1次投进为事件A3, 3人都没有投进为事件A . 则 P(A1)= 13, P(A2)= 25, P(A3)= 12, ∴ P(A) = P(－－－)=P(－)·P(－)·P(－) = [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－13)(1－25)(1－12)=15 ∴3人都没有投进的概率为15 . (Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0,1,2,3), ξ~ B(3, 25), P(ξ=k)=C3k(25)k(35)3－k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3×25 = 65 . 解法二: ξ的概率分布为: ξ 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 Eξ=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125= 65 . 4． 5．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n ξ的分布列为 ξ 0 1 2 … n-1 n p … (II) 的数学希望为 …(1) …(2) (1) －(2)得 6. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）随机变量、的分别列是 （Ⅲ）由题设知目标函数为 作出可行域（如图）： 作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点M点与原点距离最大，此时 取最大值. 解方程组 得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 . [能力提升] 1．A　　2．C　　3．C　　4．A　　5．D　　6．　　7．A　　8．0.1，0.6，0.3　　9．0 10．解：将事件“抽取一次得到白球”记作A，则P(A) = t5 + t. 在三次独立重复试验中，第一次，第三次均抽到白球的概率为 p(A·A) = P(A)·P(A) = ( t5 + t)2 = 136，∴ t = 1 即盒中有 5 个红球，1 个白球。P(A) = 16 设 ? 是三次抽取中抽到白球的次数，则 ?~ B(3,16) ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 P 125216 2572 572 1216 E? = 3·P(A) = 3·16= 12 答：抽到白球次数的数学期望为 12 11. 解:(I)设袋中原有个白球,由题意知 可得或(舍去)即袋中原有3个白球. (II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5 所以的分布列为: 1 2 3 4 5 (III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则 12. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为 1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少. [仿真训练] 1．D　2．B　3．B　4．C　5．C　6．D　7．A　8．B　9．D　10．C　11．A　12．A 13．　　14．　　15．乙　　16．不正常 17．解：（1）由n可得， 由于共30个数，故，