DA2004年高考数学(天津卷理工类).docVIP

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13．80 14． 15． 2004 16．300 三、解答题： 17． 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.满分12分. （1）解：. 由，有. 解得. （2）解法一： . 解法二：由（1），，得 ∴ . ∴. 于是， . 代入得. 18． 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. （1）解：可能取的值为0，1，2。 。 所以，的分布列为 0 1 2 P （2）解：由（1），的数学期望为 （3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为 19． 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在中，EO是中位线，∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA // 平面EDB （2）证明： ∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴ ∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴. ① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。 而平面PDC，∴. ② 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC，∴ 又且，所以PB⊥平面EFD. （3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角. 由（2）知，. 设正方形ABCD的边长为a，则, ， . 在中，。 在中，，∴. 所以，二面角C—PB—D的大小为. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设. （1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG. 依题意得. ∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且 . ∴，这表明PA//EG. 而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB. （2）证明；依题意得，。又，故. ∴. 由已知，且，所以平面EFD. （3）解：设点F的坐标为，，则 . 从而.所以 . 由条件知，，即 ，解得 ∴点F的坐标为，且 ， ∴ 即，故是二面角C—PB—D的平面角. ∵，且 ，， ∴. ∴. 所以，二面角C—PB—D的大小为. 20． 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分. （1）解：，依题意，，即 解得. ∴. 令，得. 若，则，故 在上是增函数， 在上是增函数. 若，则，故 在上是减函数. 所以，是极大值；是极小值. （2）解：曲线方程为，点不在曲线上. 设切点为，则点M的坐标满足. 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得. 所以，切点为，切线方程为. 21．本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分. （1）证明：由，可得 . 由数学归纳法可证. 由题设条件，当时 因此，数列是一个公比为k的等比数列. （2）解：由（1）知， 当时， 当时， . 而 所以，当时 . 上式对也成立。所以，数列的通项公式为 当时 . 上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ， （3）解：当时 22． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分. （1）解：由题意，可设椭圆的方程为. 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率. （2）解：由（1）可得A（3，0）. 设直线PQ的方程为.由方程组 得 依题意，得. 设，则 ， ① . ② 由直线PQ的方程得.于是 . ③ ∵，∴. ④ 由①②③④得，从而. 所以直线PQ的方程为或 （2）证明：.由已知得方程组 注意，解得 因，故 . 而，所以 .