函数项级数的非一致性收敛的证明.docVIP

函数项级数的非一致性收敛的证明 P 袁龙杰 在Cauchy时代,已经对函数项级数作了许多研究,但由于实数的严格理论尚未建立起来,未彻底阐述清楚一些重要的关系,随着时代的发展,Weierstrass建立了函数项级数的一致收敛概念,并由此阐明了函数项级数的和函数的连续性,函数项级数的逐项微分和逐项积分定理,还给出了判定函数级数一致性收敛的比较判定准则. 设u1(x),u2(x),…,un(x),…是定义在区间[a,b]上的一列函数,称和式n=1∞un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x),…是定义在[a,b]上的一个函数项级数,简称为级数.当x取特定值时,函数项级数便室一个数项级数. 函数项级数的收敛概念是一个”点态”性的概念,即函数项级数在[a,b]上收敛是指它在这区间上的每一点都收敛.课本列举了多种函数项级数的一致性的判别法,现在我们来讨论非一致性的证明: 课本给出了非一致性的定义,我们可以从定义出发证明某个函数项级数的非一致性收敛.若n=1∞un(x)在定义域I上非一致性收敛,即存在某个正数ε0,不论自然数N多大,总能找到 x0∈I 和nN, 满足∣rn (x0)∣=∣n=1∞un(x)∣≥ε0,于是找I的一列点{xk} 和趋向于∞的一列自然数nk(k=1,2,…)满足∣rk(x)∣=∣k=nk+1∞uk(xk)∣≥ε0.这是n=1∞un(x)在I上的非一致性收敛的充分必要条件. 下面用定义证明: 证函数项级数n=1∞e-nx在(0,+∞)不一致收敛. 证明:取正数ε0=e-2,xn=1n(1,2,…),则对于任意自然数n,有 ∣rn(xn)∣=∣k=n+1∞e-kxn∣e-(n+1)1ne-2 于是找区间(0,+∞)中的一列点{xk}和∞的一列自然数n=1,2,…,满足∣rn(xn)∣e-2,这说明 n=1∞e-nx在(0,+∞)不一致收敛. 课本列举了两个推论可以用来证明非一致收敛. 推论一:一致收敛级数的通项必一致趋于零. 推论二:设n=1∞un(x)在(a,b)内收敛,每个un(x)在x=b处左连续(或在x=a处右连续).若n=1∞un(b)(或n=1∞un(a))发散,则n=1∞un(x)在(a,b)内非一致收敛. 要注意的是,推论一中,若通项趋于零,未必是一致收敛! 证明级数n=1∞ne-nx在(0,+∞)上非一致收敛. 证明:存在正数ε01e,对任给的自然数N,总存在n0N ,且存在x0=1n0∈(0,+∞),有 n0e-n0x0=n0e-11eε0. 故通项非一致趋于零.有推论一得, 级数n=1∞ne-nx在(0,+∞)上非一致收敛. 还可以用以下的两个定理的否命题来证明非一致???敛. 定理一:假设每个函数un(x)(n=1,2,…)都在区间I上连续,如果级数n=1∞un(x)在区间I上一致收敛,则该函数的和函数s(x)=n=1∞un(x)在区间上连续. 定理二:假设每一个函数un(x)(n=1,2,…)都在区间[a,b]上连续,如果级数n=1∞un(x)在[a,b]一致连续,则abs(x)=n=1∞abunxdx. 例:证明n=0∞x(1+x)n在(0,+∞)内不一致收敛. 证明:因为sn(x)= k=0n-1x(1+x)k=(1+x)-1(1+x)n-1,故 s(x)=limn=∞sn(x)=(1+x),(x0)和(0),(x=0)显然s(x)在≥0不连续,由定理一的否命题得, n=0∞x(1+x)n在(0,+∞)内不一致收敛. 例:考察级数n=1∞x(1+x)n,它的和函数为s(x)=0,x=0;1,x≠0. 证明:设每一个函数un(x)(n=1,2,…) 都在区间[a,b]连续,但是absxdx≠n=1∞abunxdx,则可以推出n=1∞un(x)在[a,b]非一致连续.