第2章-Poisson过程汇编.pptVIP

例2.2.1表明,条件Poisson过程不是独立增量的. 定理给出了Poisson过程与非齐次Poisson过程之间的转换关系.实际上, 非齐次Poisson过程不过是”换了一个时钟来计时”的Poisson过程. 张波等,p44例3.7 更新过程最基本的特点是，在每一次更新发生时，过程将来的发展从概率的观点上来讲与原过程的再现相同，因此随机时刻τ n通常称为第次更新的时刻或再生点。 张波等,应用随机过程p57给出了更新方程在人口学中的一个应用. 利用Laplace变换的卷积定理:形如(2.4.1)的卷积的Laplace变换等于Laplace变换的乘积. 定理表明在长期运行下平均报酬的极限，等于一个周期内得到的期望报酬除以一个周期的期望时间。 * 非齐次Poisson过程 当Poisson过程的强度λ随时间t 变化时,Poisson过程被推广成为非齐次Poisson过程. 在实际中,非齐次Poisson过程也是比较常用的.例如在考虑设备故障率时,由于设备使用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度,会因各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等. 定义2.3.3 随机过程{N(t),t?0}称为具有强度函数λ(t) 的非齐次Poisson过程，如果 1）是一计数过程,且N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）对任意实数t?0,s0,N(t+s)-N(t)为具有参数 的Poisson分布. * 设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.试求它在使用期内只维修过一次的概率 * 2.4 更新过程 一个计数过程,若它们相邻事件到达时间间隔Tn是指数分布,则此过程为Poisson流. 若是一般分布,则此过程为更新过程(renewal processes). 更新机器零件问题是更新过程的典型例子.某机器上有一个零件是易损件,每当它损坏时,就要换上新的零件.t=0时开始装上一个零件,机器持续地运转一段时间T1, 该零件损坏,立即用寿命T2的零件来更换,这样不断地进行下去,关于这一列{Tn}的更新过程{N(t),t?0}就表示到t 时刻为止更换的零件数. * 则称 {N(t),t?0} 为更新过程。 2.4.1 更新过程的定义 显然,更新过程是一个计数过程.在更新过程中,我们将事件发生一次叫作一次更新, 从而定义中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的时间,τn是第n次更新发生的时刻. N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数. 定义2.4.1 设 为独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为F(x) , 且F(0)1。令τ0=0 ， 记 * 更新过程一定是独立增量过程吗? 设 * 更新过程的基本结论： 过程的统计特性可由序列 的共同分布完全刻画； N(t)是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量； 的分布函数为 ,即在有限时间内不可能进行无穷次更新. N(t)的概率分布为 * 例2.4.1 设更新过程 的更新间距 服从参数为m,λ 的Gamma分布，即 的概率密度函数为 求 解 备查：1） 的特征函数为 分布函数为： * 令 , 称为过程{N(t),t?0}的更新函数。 定理2.4.1 对 , 若F(t)1, 则有 2.4.2 更新函数 定理2.4.2 更新过程 {N(t),t?0}可由其更新函数M(t) 唯一确定. ……证 …证 引理 更新函数 是自变量 的单调递增，有界且右连续函数. …证略 * 例2.4.2 设更新过程 {N(t),t?0}具有更新函数 ,求更新间距T的分布. 解: 设T的概率密度为f(t), 则 故更新间距T服从指数分布, {N(t),t?0}为Poison过程. --[4] 拉氏变换简表 * 2.4.3 更新过程的极限性质 定理2.4.3 推论 定理2.4.4 设