函数连续性3.2剖析.ppt

1、最大值和最小值定理 设 f (x) ?C ( [a, b] ), 则 (i) f (x) 在 [a, b] 上为以下四种单调函数时 a O b x y a O b x y O a b x y O a b x y y = f (x) ?[a, b] , y = f (x) ?[a, b] , 此时, 函数 f (x) 恰好在 [a, b] 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值. 则 则 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时 x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma mb y = f (x) O (最大值和最小值定理) 若 f (x) ?C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间 上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大值和最小值. 定理6 若 f (x)?C( [a, b] ), 则 f (x) 在 [a, b] 上有界. x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma mb y = f (x) O 看图就知道如何证明了. 推论 f (x) 在 [a, b] 上可取到它的最大值 M 和 ? f (x)?C ( [a, b] ) 故 m ? f (x) ? M , x?[a, b], | f (x) | ? M* , x?[a, b], 令 M* = max { |m|, | M| }, 则 即 f (x) 在 [a, b] 上有界. 最小值 m , 证 2.零点存在定理 a x y y = f (x) f (a) b f (b) O f (x)?C ( [a, b] ), f (a) f (b) 0, f (? )＝0. 先看一个图 描述一下这个现象 (根存在定理或零点定理) 则至少存在一点 ? ?(a, b), 使得 f (? )＝0. 设 f (x) ?C ( [a, b] ), 且 f (a) f (b) 0, a x y y = f (x) f (a) b f (b) O 如何证明？ 定理7 证明的思想方法 —区间套法 将区间 [a, b] 等分为 [a, a1] 和 [a1, b] , 在这两个区间中, 选择与 [a, b] 性质相同的 一个, 例如, 若 f (a1) f (b) 0 , 则选取区间 如此下去, 小区间的长度趋于零, 并且 [a1, b], 然后, 对 [a1, b] 进行等分, 并进行选 择, 又得一个新的小区间. 总保持函数区间端点值反号的性质, 由函数 的连续性, 这些小区间的左端点或右端点构 成的数列的极限值, 就是要求的 ? ?(a, b). 证明方程 x5 – 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间 令 f (x) = x5 – 3x –1, x?[1, 2], 则 f (x)?C( [1, 2] ), 又 f (1) = –3, f (2) = 25, f (1) ? f (2) 0, 即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根. 故 至少存在一个? ?(1, 2), 使得 f (? ) = 0, 至少有一根. 例8 证 至少有一个不超过 a + b 的正根. 证明方程 x = a sin x + b ( a 0, b 0 ) 设 f (x) = x ? a sin x ? b , x?[ 0, a + b ], 则 f (x)?C( [ 0, a + b ] ), 而 f (0) = 0 – a sin 0 – b = – b 0, f (a + b) = (a + b) – a sin (a + b) – b, = a ( 1 ? sin (a + b) ) ? 0, 例9 证 1) 如果 f (a + b)＝0, 则 ? = a + b 就是方程的根. 即方程至少有一个不超过 a + b 的正根. 定理, 至少存在一个? ?( 0, a + b ), 使得 f (? ) = 0. 2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0)? f (a + b) 0, 由根存在 综上所述, 方程在 ( 0, a + b ] 上至少有一个根, y B C A O a ? ? ? b x 3、介值定理 设 f (x)?C ( [a, b] ), f (a)＝A, f (b)＝B