高中数学：1.1《导数与函数的单调性》教案（北师大版选修2-2）.docVIP

§1 函数的单调性与极值 第一课时 导数与函数的单调性（一） 一、教学目标：教学过程 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1 （2）表示高台跳水运动员的速度随时间 变化的函数的图 像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率． 在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 3．求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． （三）．典例探析 例1、已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状． 解：当时，，可知在此区间内单调递增； 当，或时，；可知在此区间内单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因为，所以， 因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减； 函数的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为，所以， 因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为，所以 ． 当，即 时，函数 ； 当，即 时，函数 ； 函数的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”． 例4、求证：函数在区间内是减函数． 证明：因为 当即时，，所以函数在区间内是减函数． 说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2 （五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数单调区间；（3）证明可导函数在内的单调性 （六）．布置作业：课本P62页习题3-1A组1、2 五、教后反思： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m