高中总复习第一轮数学 (新人教A)第九章 9.4 两个平面平行.docVIP

9.4 两个平面平行 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.空间两个平面的位置有两种,分别是平行与相交. 2.两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 3.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么交线平行. 二、点击双基 1.下列命题中,正确的是( ) A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案:C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①B∥α;②B⊥α;③α∥β;④α⊥β.其中可能的情况有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析:①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案:C 3.a、B、C为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： ①a∥B;②a∥B; ③α∥β;④a∥α; ⑤α∥β;⑥a∥α. 其中正确的命题是_______________________________.(将正确的序号都填上) 答案:①④⑤⑥ 4.已知两个平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB和CD交于S,其中AS=8,BS=9,CD=34,则SC=________________. 解析:分两个平面在交点S的同侧与异侧讨论,利用平面平行的性质定理和相似三角形边成比例求解,易解得同侧时SC=272,异侧时SC=16. 答案:16或272 诱思·实例点拨 【例1】 如图,平面α∥平面β,线段AB交α、β于M、N,线段AD分别交α、β于C、D,线段BF分别交α、β于F、E,若AM=9,MN=11,NB=15,S△FMC=78,求△END的面积. 解:∵AB∩AD=A, ∴AB、AD确定平面ABD. 而MC、ND为平面ABD与平面α、β的交线, ∴MC∥ND.同理可得FM∥EN. 于是∠FMC=∠END. ∴==·=·=. ∴S△END=S△FMC=×78=100. 讲评:在运用两平面平行的性质定理时,一定要先找到与两平行平面都相交的第三个平面,继而推得两交线平行. 【例2】 如图，在空间六边形(即六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1. 证法一:作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD. ∵AA1CC1BB1DD1,且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1， ∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形. 故它们的对应边平行且相等. ∵△ABC≌△A1B1C1, ∴A1B1⊥B1C1. 同理，AD⊥CD. ∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴BB1⊥平面ABC. 同理，DD1⊥平面ACD. ∵BB1∥DD1, ∴BB1⊥平面ACD. ∴A、B、C、D四点共面. ∴ABCD为正方形. 同理，A1B1C1D1也是正方形. 故ABCD—A1B1C1D1是正方体. 易知A1C1∥AC， ∴A1C1∥平面ACD1. 同理，BC1∥平面ACD1， ∴平面A1BC1∥平面ACD1. 证法二:证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上. 连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影， 由三垂线定理知B1D⊥A1C1，同理可证B1D⊥BA1， ∴B1D⊥平面A1BC1. 同理可证，B1D⊥平面ACD1， ∴平面A1BC1∥平面ACD1. 链接·聚焦 证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线. 【例3】 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： (1)AP⊥ＭＮ； (2)平面ＭＮP∥平面A1BD. 证明:(1)连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影. ∴AP⊥B1C. 又B1C∥ＭＮ， ∴AP⊥ＭＮ． (2)连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PＮ∥B1D1. 又B1D1∥BD， ∴PＮ∥BD. 又PN不在平面A1BD上, ∴PＮ∥平面A