圆的典型题要点分析.doc

圆的典型题 1.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。 求证：DE是⊙O的切线； 作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8， 求弦DG的长。 （1）证明：结OD．∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO． ∵BA=BC， ∴∠A=∠C．∴∠ADO=∠C． ∴C．∵DE⊥BC ∴DO⊥DE． 点D在⊙O 上∴DE是⊙O的切线 （2） 解：， ∵直径AB⊥弦DG ∴DF = FG ∴DG = 2DF = 4 2.如图，⊙O是Rt的外接圆，，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA = PB． （1）求证：PB是⊙O的切线；（5分） （2）已知，，求⊙O的半径．（5分） （1）证明：连接OB． ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA． ∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA． ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA， 即∠PAO=∠PBO …………………2分 又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB ． …………………………………………4分 又∵OB是⊙O半径， ∴PB是⊙O的切线． …………………………………………5分 说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB． （2）解：连接OP，交AB于点D． ∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB． …………………………………7分 ∴∠PAO=∠PDA =90°． 又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA． ∴，∴AP2 = PO·DP． 又∵OD =BC =，∴PO（PO–OD）=AP2． 即：PO2–PO=，解得 PO=2． ………………9分 在Rt△APO中，，即⊙O的半径为1． …………10分 说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理． 3.如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点． (1)求证：PA·PB=PC·PD； (2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD： (3)若AB=8，CD=6，求OP的长． (1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C． ∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分 (2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF． 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°， ∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分 (3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理： ∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11 又易证四边形MONP是矩形，∴OP＝… 4.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ▲ ， CE的长是 ▲ ． 解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90° 又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90° ∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1 又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2, ∴ CF﹦BF﹒ …………………4分 (2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是﹒ ………4分（各2分） 5.（2010年长沙）已知：AB是的弦，D是的中点，过B作交AD的延长线于C． （1）求证：AD＝DC（2）过D作的切线交BC于E，若DE＝EC，求．∴∠A＝∠ABD∴AD＝BD …………………2分 ∵∠A+∠C＝90°，∠DBA+∠DBC＝90°∴∠C＝∠DBC∴BD＝DC ∴AD＝DC ………………………………………………………4分 （2）连接OD∵DE为⊙O切线 ∴OD⊥DE …………………………5分 ∵，OD过圆心 ∴OD⊥AB 又∵AB⊥BC ∴四边形FBED为矩形∴DE⊥BC ……………………6分 ∵BD为Rt△ABC斜边上的中线∴BD＝DC ∴BE＝EC＝DE ∴∠C＝45° …………………………………………………7分 ∴sin∠C= ………………………………………………………………8分 6.如图，是的直