圆的综合运用要点分析.docVIP

圆的综合 （一）、知识要点 1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时； (1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。 构造圆中的直角三角形，主要有下四种类型： ①； ②直接作垂线构造直角三角形； ③构造所对的圆周角； ④连接圆心和切点； (2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中 在圆中，角的技巧有如下图几种常见的情形： 2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时； (1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下； (2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下： 二、典型例题能力提升类 例1的直径与弦相交于点，交角为45°，若，求直径AB。 评析 例2 内接于⊙，点在劣弧上，连结，交于点．若，求的值。 评析 综合运用类 例 如图，已知直径与等边三角形的高相等的圆与三角形的边和边相切于点和，与边相交于点和，求∠的度数。 例 已知△中，∠＝90°，边上的高线与△的两条内角平分线、分别交于、两点、的中点分别为、求证：∥ 思维拓展类例 （1）求b的值和点D的坐标； （2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径。 评析评析总结： 二、与圆有关的辅助线的添加规律： 遇直径，作直径上的圆周角； 遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角； 证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角； 求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形； 证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形； 遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质解题； 遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。 遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁作用。 巩固训练 2. 如图所示，A是半径为5的圆O内的一点，且OA＝3，过点A且长小于8的弦有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 4条 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 以上三种情形都有可能 4. 给出下列命题： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形。其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以CE、DF为直径的两个半圆也均与x轴相切于点O，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. 如图所示，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝12cm，AP：PB＝2：3，则圆O的直径是________cm。 2. 如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝________，AD＝________。 3. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，，以A为圆心，以AC为半径作弧交AB于D，则图中阴影部分的面积是________。 4. 如图所示，同底等高的圆锥和圆柱，它们的底面直径和高相等（即2R=h），那么圆锥和圆柱的侧面积之比为 。 5. 如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时（当正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方形的顶点A所经过的路线长是 cm。 三、解答题 1. 已知：⊙O与⊙O外离，⊙O的半径为4cm，⊙O的半径为6cm，OO＝20cm，求两圆的公切线的长。 2. 已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别与⊙O1、⊙O2相交于点A、B，B