第7章代数系统.docVIP

习题7 1．在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A.a*b=a-b B.a*b=max{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b| 解：B 2.设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在A,*中，单位元是( )，零元是( )。 解：2，6 3．设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在A,*中，单位元是( )，零元是( )； 解：9，3 4．设〈G,*〉是一个群， (1)若a,b,x∈G，ax=b，则x=( )； (2)若a,b,x∈G，ax=ab，则x=( )。 解：（1）a-1b （2）b 5.在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。 解：k (a-1)k = a-1×k = ak×(-1) = (ak)-1 = e-1 = e，故a-1的阶是k。 6.下列哪个偏序集构成有界格（ ） A.N, B.Z, C.{2,3,4,6,12},|（整除关系） D.P(A), 解：D 7．设*是集合A上可结合的二元运算，且a,bA,若a*b=b*a，则a=b。试证明： （1）aA,a*a=a； （2）a,bA,a*b*a=a; （3）a,b,cA,a*b*c=a*c。 证明： （1）aA,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。 （2）a,bA,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a), (a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。 故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。 （3）a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）0。 证明： 用反证法证明。假设e=0。 对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元，则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|1矛盾。 从而假设错误。即e0。 9．试证：设半群S,·中消去律成立，则S,·是可交换半群（即运算·满足交换律）当且仅当a,bS，（a·b）a,bS，（a·b）a,bS，因为（a·b）a,bZ，a*b=a+b-2。试证：Z,*为群。 证明： （1）a,b,cZ，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4， 故(a*b)*c=a*(b*c)，从而*满足结合律。 （2）记e=2。对aZ，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是Z关于运算*的单位元。 （3）对aZ，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。 综上所述，Z,*为群。 11．设G,·是群，a,bG，ae，且a4·b=b·a5。试证a·bb·a。 证明：用反证法证明。 假设a·b=b·a。则a4·b= a3·（a·b）））是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。 证明： 因为a-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。 若x1,x2都满足要求。即ax1=b且ax2=b。故ax1=ax2。 由于*满足消去律，故x1=x2。 从而对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。 13．设G,·是群，作f:GG,aa-1。证明：f是G的自同构G是交换群。 证明： 设f 是G的自同构。 对a，bG，a·b=(b-1·a-1)-1=(f(b) ·f(a))-1=(f(b·a))-1=((b·a)-1)-1=b·a。故运算·满足交换律 ，即G是可交换群。 因为当ab时，a-1b-1，即f(a)f(b)，故f是G到G中的一个单一函数。又对aG，有f(a-1)=(a-1)-1=a。故f是G到G上的满函数。 对a，bG，因为G是可交换群，故f(a·b)=(a·b)-1=(b·a)-1=a-1·b-1=f(a)·f(b)。故f满足同态方程。 从而f是G 的自同构。 14．证明在元素不少于两个的群中不存在零元。 证明：（用反证法证明） 设在元素不少于两个的群G,中存在零元。对aG, 由零元的定义有 a*=。 G,是群，关于*消去律成立。a=e。即G中只有一个元素，这与|G|2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。 15．G,是一个群，aG，其阶为12，b=(a-1)8。则b的阶为（ ）。 A.3 B.8 C.12 D.24