第7讲三角变换与解三角形(学生).docVIP

专题 　与 第讲1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.(3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. ．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． ．余弦定理 (1)a2＝b2＋c2－2bccosA,cosA＝；(2)b2＝c2＋a2－2cacosB,cosB＝； (3)c2＝a2＋b2－2abcosC,cosC＝. 题型一　三角变换及求值 例1 (1)求值：； (2)已知α∈(,π),且sin＋cos＝. ①求角α的值； ②若sin(α－β)＝－,β∈(,π),求cosβ的值． 变式 已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝,tan β＝－,2α－β题型二　正、余弦定理的应用 例2 已知△ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B. (1)求角C； (2)试求△ABC的面积S的最大值． 变式 (2010·辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C. (1)求A的大小； (2)求sin B＋sin C的最大值． 题型三　三角函数的最值与变换 例 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形ABCD(如图2－4－1所示)作为桌面,若扇形的半径为1 m．求割出的长方形桌面的最大面积及相应的∠DOA的值． 在△ABC中,已知内角A＝,边BC＝2.设内角B＝x,周长为y. (1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域； (2)求y的最大值． 题型四　正、余弦定理的实际应用 例4 (2010·陕西卷)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间？ 故救援船到达D点需要1小时．1．三角函数恒等变换一般遵循：从函数名、角、运算三方面进行差异分析,再利用三角公式使异角化同角,异名化同名,高次化低次等,体现统一的思想． ．解题前要善于分析题目中所给式子的结构,掌握结构的特点,通过降幂、升幂、常数代换等手段,为使用公式创造条件,这是三角变换的重要策略． ．三角函数的求值最为重要,有三类题型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角,无论哪种类型,都要注意角的联系及角的范围．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝,且α是第二象限角,则tan(＋α)等于 在△ABC中,A＝60°,b＝1,其面积为,则等于 在△ABC中,已知sin C＝2sin Acos B,那么△ABC一定是 三角形． 已知实数a,b均不为零,＝tan β,且β－2＝,则等于函数y＝sin4x＋cos4x的单调递增区间是______________________. 在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a＝4bsin A,则cos B＝________. (2010·广东)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边．若a＝1,b＝,A＋C＝2B,则sin C＝________. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, cosA＝,b＝5c.若△ABC的面积S＝sinBsinC,a的值． 已知向量m＝sinA,与n＝(3,sinA＋cosA)共线,其中A是△ABC的内角． (1)求角A的大小； (2)若BC＝2,求△ABC面积S的最大值,并判断S取得最大值时△ABC的形状． (苏教版必修4P117第14题如图所示,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花．若BC＝a,∠ABC＝θ,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2. (1)用a,θ表示S1和S2； (2)当a固定,θ变化时,求取最小值时的角θ.