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第4章 统计检验 4.1 统计检验的几个基本概念 1．统计检验的内容 统计检验又称假设检验或检验假设，它是统计推断的一个重要组成部分。其重要内容是，对总体某个参数给定一个值，即提出一个假设，然后对用子样算出的相应的统计量加以检验。 例4-1 某糖厂用自动打包机包装糖， 每包标准重量为50(kg)，根据长期的经验知道，其重量的标准差σ=0.6(kg)。某一天，从糖包中随机抽取9包，称得其重量(kg)为49.65，49.35，50.25，50.60，49.15，49.85，49.75，51.05，50.25，试问这一天包装机工作是否正常？ 对上例问题，可提出一项假设H0：μ=μ0=50(kg), μ为抽样总体的均值，然后将算得的子样平均值与标准重量μ0相比，如果差别不大，就可以接受这个假设，否则就要否定这个假设。与μ0相差大与不大，要有一个量的标准。类似这样的问题，我们采用统计的方法，以一定的置信概率，对原假设是否成立作出检验(或称判断)，最后得出结论。这正是本章所要讨论的内容。 2．统计检验的意义 我们还是从例4-1的问题谈起。在抽取的9包糖中，其重量有的多一点，有的少一点，也就是说，糖包的重量是有波动的。实际上，工程、科研或管理中，要求我们处理的数据总是有波动、有差异的。这种波动是随机误差还是系统误差呢？对包装机来说，如果只存在随机误差，可以认为其正常；如果有系统误差，就认为不正常。对实验测定的数据，如果是前者，这组数据是可用的；如果是后者，就很难应用。若能确定系统误差的量，可对这组数据进行修正。否则，要消除系统误差，重新测量。 如何区分两种误差是解决上述问题的关键。而这种情况是经常纠缠在一起的，除了极明显的情况，一般难于分辨。统计检验可以解决这类问题，它在鉴别实验结果差异的原因或科学管理中是经常用到的。 3．统计检验的推理方法 统计检验的推理方法的基本特点是用了反证法的思想。先假定一个假设是成立的，从子样出发进行推导，如果导致一个不合理的现象出现，那么就证明原先的假设是不能成立的，因此拒绝这个假设。否则，就接受原假设。但它又区别于纯数学的反证法。这里所谓的“不合理”并不是形式逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们在实践中广泛采用的原则。小概率事件(一般是指概率不超过0.05的事件)在一次观测中可以认为基本上不会发生。 4．统计检验的几个概念 类似上面提到的，可以提出一项假设H0：μ=μ0=50(kg)，这里H0叫原假设或零假设。与H0相反的假设叫做相反假设或择一假设，记作Ha 。例如Ha:μ≠50，或Ha ：μ50，或Ha: μ50等。 显然，接受或否定一个假设，都不可能有百分之百的把握。在检验过程中，我们要先给出小概率α，若计算的统计量的出现是一个小概率事件，则否定原假设，否则接受原假设。这里的小概率α，在统计检验问题中，一般称做检验的显著性水平。而( 1－α)为可靠性，常称为置信度或置信概率。 对例4-1问题，可选择一个适当的常数，这时小概率事件的概率是 如果,就否定原假设。否定原假设H0的区域,称为检验的拒绝域，或称为临界域。 子样统计量是一随机变量，落在哪一个区域是有一定概率的。有时即使原假设H0是对的，但是由于作出判断的依据是一个子样，仍有可能拒绝H0，这是一种错误( 以真为假)，称为第一类错误( 或弃真错误)，犯这种错误的概率就是α，即 我们自然希望将的值取小一点，把它控制在一定的限度以内。如取α＝0.05、0.01、0.10等。 同样道理，有时原假设H0不正确，我们也有可能接受。这也是一种错误(以假为真)，称为第二类错误(或取伪错误)。犯这类错误的概率记为β。 当子样容量n一定，要同时减小犯两种错误的概率是不可能的，减小其中的一个，另一个往往会增大。在实际问题中，一般是控制犯第一类(弃真)错误的概率α。α的大小视具体情况而定。对一般的情况，有九成把握就行了，α的取值可略大一点。对于一些重要的关键性问题，则要有充分大的把握才行，α的取值要小一些。另外，一般要求子样容量n不能太小，n太小会使犯第二类(取伪)错误的可能性增大。 由子样计算出的量叫做子样统计量，简称统计量，如、S等。统计检验需要搜集子样数据来计算有关检验统计量。再用这些统计量的值和给定的显著性水平α来决定接受或否定原假设H0。 根据H0和Ha的具体情况，检验可分为单边检验或双边检验。当检验假设形如 ；(或) 称为单边检验。当检验假设形如 ； 称为双边检验。通常双边检验的择一假设Ha可略而不写。 统计检验的内容比较丰富，下面对一些常用的方