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{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)] 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. 频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移. {g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变. 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb) 复指函数的F.T.是移位的d 函数 4. 共轭性 证明： 5. 对称性 如果： 则 如果： 则 6. 迭次傅里叶变换性质 例：阿贝成像原理 2f f 0 f 2f 第一次 第二次 7. 体积对应性质 如果： 则： 例： b. 傅氏变换的基本定理 1. 卷积定理 证明： 定义 定理 卷积定理的例子 2. {tri(x)} = {rect(x)*rect(x)} = {rect(x)} ? {rect(x)} = sinc(f) ? sinc(f) = sinc2(f) rect(x) x 0 1/2 -1/2 1 rect(x) x 0 1/2 -1/2 1 * tri(x) x 0 1 -1 1 f sinc(f) 0 1 -1 1 f sinc(f) 0 1 -1 1 ? x sinc2(x) 0 1 -1 1 F.T. F.T. F.T. {tri(x)} = sinc2(f )  2. 相关定理 定理 定义 (Auto correlation) (Cross correlation) Correlation theorem 相关定理的证明 第一步 第二步 特例 自相关定理： 证明： 3. 巴塞伐（Parseval） 定理 证明： Parseval 定理 的物理意义？ 如g(x,y)为光场的复振幅分布，则 代表光强分布，该积分式代表该光场在空间的总光能； 而 则表示单位频率间隔的光能量，称为功率谱，所以Parseval 定理实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达一致性的表现． 解： 例：求积分 4. 广义巴塞伐 定理 证明： 解： 例：求积分 5.函数导数的傅立叶变换 证明： 由?函数的导数定义： 6.矩定理 Mk,l 称为函数g(x,y)的(k,l)阶矩 定义 定理 如果 则 零阶矩定理： 一阶矩定理： 二阶矩定理： 傅里叶变换的计算方法 1. 用定义直接计算: rect(x), circ(r) , ... 2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1... 3. 用傅里叶变换的性质间接导出: F.T.的积分定理 F.T.的卷积定理 {comb(x)}= {1}= {d (fx,fy)}= {rect(x)}= {sinc(x)}= d (fx,fy); 1 1 与d 函数互为F.T. comb(f) comb(t f) sinc(f); rect(f) {d (x-a)}= {exp(j2pfax)}= exp(-j2pfxa) d (fx-fa) {tri(x)} = sinc2(f ) 作业： 1.22 1.27 1.29 1.30 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 3. 例题 求： ⑴图解法 求： ⑵解析法 步骤：①求积分区间②分段积分③综合 被积函数非零时 4. 卷积的物理意义 卷积函数的宽度等于两被卷积函数的宽度之和。 ⑴展宽效应： ⑵平滑效应： 被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑，实际应用中用于消除突跳、毛刺等。 5.卷积的基本性质 设a,b为任意常数，可实可复，则有： ⑴线性性质： ⑵交换律： 则有： ⑶平移不变性： 对于： 对于： ⑷结合律： ⑸坐标缩放性质： 则有： ⑹与δ函数卷积的性质： 对于： 恒有： 任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在