信息光学第一章第三讲资料.pptVIP

（4）指数函数 （5）梳状函数的傅里叶变换 8、傅里叶变换的性质（重点） （1）线性定理：如果 （波的叠加原理） 则有 （2）相似性定理：如果 （缩放和反演定理） 则有 （单缝衍射，缝窄衍射变宽） （3）位移定理：如果 则有 ，函数在空域中的平移，带来频域中的相移 同时 ，函数在空域中的相移，带来频域中的平移 （4）帕色伐（Parseval）定理： 如果 则有： 该定理表明信号在空域和频域的能量守恒。 （5）卷积定理：如果 则有 即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积 而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积 卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。 （6）傅里叶积分定理：在函数 的各个连续点上有 对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像”。 作业： 1、傅里叶变换具有哪些基本性质？ 2、证明下列函数的傅里叶变换 3、 哪些函数的傅里叶变换本身还是该类型函数？他们具有哪些特点？ 4、证明如下傅里叶变换性质 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * * 1 第三讲 二维傅里叶变换 本讲主要内容 傅里叶级数及频谱概念 傅里叶变换 广义傅里叶变换 法国数学家、物理学家，在研究热传导 理论时提出Fourier级数； 1795年在巴黎高等师范教书； 1798年随拿破仑东征，在部队生产军火， 期间，还向埃及学院递交了数篇数学论文； 1801年拿破仑远征失败后，他被任命为伊泽 尔省长官； 1816年回到巴黎，随后当选科学院秘书， 并发表《热的分析理论》； 1830年5月16日病逝； Joseph Fourier（1768-1830） 一、傅里叶级数及频谱概念 二、傅里叶变换 1、傅里叶变换的定义 其中 称为像函数(或频谱),f(x,y)称为原函数,两者构成傅里叶变换对: 可写成： 叫f(x,y)的振幅谱， 叫位相谱。 2、傅里叶变换的存在条件 ⑴函数在xoy全平面上绝对可积 ⑵函数在xoy全平面上每一个有限区域内局部连续, 仅存在有限个不连续点。 ⑶函数没有无限大间断点 。 但是常用的某些函数（如sgn(x)、?(x)、step(x)、cos(2?f0x) 等）却不满足上述存在条件中的某一条或多条，因此有必要对上述傅里叶变换定义作推广。 3、广义傅里叶变换 假定有一个函数序列 gN(x,y) ，其中的每一个函数都存在傅里叶变换，对应的频谱函数为 GN(fx, fy) 。函数 g(x,y) 虽然不存在傅里叶变换，但 g(x,y) 却是 gN(x,y) 在N??时的极限，则定义N??时 GN(fx, fy) 的极限为 g(x,y) 的广义傅里叶变换。 广义傅里叶变换就是极限意义下的普通 傅里叶变换。 (2)求变换 [解]:(1)选择适当的函数序列，如 显然有： 傅里叶变换 令 并利用积分公式; 容易求得: (3)求极限 : 由上式取极限最后得到 矩形函数的傅里叶变换 傅里叶变换 傅里叶变换 高斯函数的傅里叶变换 傅里叶变换 Gaussian Gaussian 傅里叶变换 三角函数的傅里叶变换 傅里叶变换 fx = μ 4、可分离变量函数的傅里叶变换 fx = μ fy =ν 5、具有圆对称函数的傅里叶变换 函数的可分离性可使复杂的二维计算得以简化为更简单的一维计算。 现在证明:对于可分离变量的函数，其频谱函数在频域中也是可分离的。直角坐标系下很明显。下面只讨论极坐标系中的情况。 坐标变换：直角坐标化成极坐标 圆域函数及其傅里叶变换 6、傅里叶分析的物理意义 由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式为 的基元函数的线性组合，其频谱 只不过是一个权重因子。 这种基元函数具有下述性质： (1).代表传播方向