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家庭辅导 初中数学 九年级(上) 第二十二章 二次根式 应知 一、基本概念 二次根式：一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。a是一个非负数（a≥0）。 【注意】①表示a的算术平方根。② a可以是数,也可以是式。③形式上含有二次根号。④a≥0, ≥0 ( 双重非负性)。⑤既可表示开方运算,也可表示运算的结果。 最简二次根式：被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的冪的指数都小于2，这样的二次根式叫最简二次根式。 【注意】①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③式子的分母中不含分式。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 二、基本法则 二次根式的性质： ① a≥0 ; ≥0 (双重非负性 )。 ② ()2=a （a≥0）(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式)。 【注意】①a≥0时，=a；a0时，＝－a. ②( )2与的区别：(1)从运算顺序来看，()2先开方，后平方； 先平方，后开方。(2)从取值范围来看，()2 a≥0； a取任何实数。(3)从运算结果来看：()2 =a, (a≥ 0)； 二次根式的判断 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 3. 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 4. 化简二次根式的步骤： ①将被开方数尽可能分解成几个平方数. ②应用=· ③将平方项应用 = /a/ 化简。 5. 化简二次根式的方法： （1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。 【注意】 ①在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： ⑴ ⑵ ； ⑶ . 例如，化简，可以用3种方法： ⑴直接约分： ⑵分母有理化： ⑶看作二次根式的除法：　 ②不一定能化成 当a≥0时，=；当a＜0时，≠ 例如，；同理，. 但，因为无意义。所以 6. 二次根式运算。 ⑴乘法：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根。即： ·＝（a≥0，b≥0） 【注意】①最后结果用()2＝a（a≥0）进行化简。 ②=·（a≥0，b≥0） ③当a与b同时为负值时，可化为正值形式。如： ⑵除法：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数。即： =（a≥0，b0） 【注意】① =（a≥0，b0） ②二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。 ⑶加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．(二次根式的加减类似于合并同类项的运算)。 二次根式加减运算的步骤：(1)将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；(2)将相同的最简二次根式(即同类二次根式)进行合并． 【注意】① 进行二次根式加减运算时，关键是准确的化成最简二次根式。 ② 不是同类二次根式的二次根式(如与)不能合并。 提醒：二次根式仍然满足整式的运算规律。 (4)二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 应会 判断二次根式。 化简二次根式。 课外知识(2007年华东师大版教材未编入) 互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式． 分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．分母有理化有时还可以通过约分来进行。 例题 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x0）、、、-、、（x≥0，y≥0）． 2. 当x是多少时，在实数范围内有意义？ 3. 当x是多少时，(1)+在实数范围内有意义？ 4. 填空：当a≥0时，=_____；当a0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题． （1）若=a，则a可以是什么数？ （2）若=-a，a，则a可以是什么数？ 5. 已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 6. 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值． 7.　已知－=，a+b=1，则a－b=________． 8. 若最简根式与根式是同类二次