函数专题六一元二次函数.docVIP

函数专题六——一元二次函数 一元二次函数是函数中重点考查的对象，从本身的基础题型到与其它函数构成的复杂函数，其解题往往离不开抛物线图形，然而每一种题型对作图都有特定的要求，我们应该先理解透题型与作图之间的关系，然后可以在解题时对症下药。 一、作图与用图 （一）作图 ①开口方向；②与x轴的交点；③对称轴（顶点）；④与y轴的交点。 （二）用图 ①开口方向；②判别式（Δ）符号；③对称轴位置；④比较区间端点的符号。 二、基础题型 （一）解不等式 解一元二次不等式通过图形直观判断抛物线在x轴上方或下方部分求解，跟两个因素有关：①开口方向：决定取两根之内或之外；②与x轴的交点横坐标（交点情况不确定时需考虑判别式（Δ）符号）：解的分界点。 ?例1、解不等式： ⑴； ⑵； ⑶。 例2、对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。 （二）单调性 抛物线单调区间以对称轴为分界线，单调性取决于两个因素：①开口方向；②对称轴位置。 例3、已知函数在区间?上是减函数，则实数a的取值范围是（??? ?）?? A．? B．? C． ??D． （三）值域、最值 取决于两个因素：①开口方向；②对称轴位置。 原理：轴对称图形中，通过点离对称轴距离（点的横坐标与对称轴横坐标差的绝对值）大小比较y值大小。 例4、函数在时有最大值2，则a=_______________。 例5、已知函数在区间上的最大值为3、最小值为2，则实数m的取值范围是_______。 （四）根的分布（见专题七——根的分布） ①开口方向；②判别式（Δ）符号；③对称轴与指定区间之间的位置关系；④判定区间端点的符号。 三、综合应用 例6、函数的值域________________。 小结：根式的问题通常运用换元法转化为一元二次函数解决。 例7、已知函数??，且当时有最小值。? （1）求的解析式；（2）求的解集。 小结：复合函数问题先运用换元法转化为基本函数，再逐个处理。 例8、若函数的定义域和值域都是，试确定b的值。 练：1、设函数，⑴若定义域为，求的值域；⑵若定义域为时，的值域为，求a的值。或 例9、已知。⑴当时，求在区间内的最大值；⑵设在区间内的最大值为，求的取值范围。 小结：一元二次函数与绝对值的组合题型，往往先处理绝对值，再解决一元二次函数的问题。 练：2、已知。⑴当时，求函数的单调区间（不要求证明）；⑵设在区间上的最小值为，求的表达式。 ，参考答案： 例1、⑴ 当时，； 当时，； 当时，。 ⑵， 当时，，无解； 当或时，。 ⑶当时，； 当时，，，， 当时，； 当时，。 例2、由题意，得：，∴。 例3、A。对称轴满足，∴。 例4、2或。 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴。 ∴。 例5、； 由图知：。 例6、。 设，∴，∴，∴。 例7、⑴；⑵ ⑴，设，则， 当时，，∴，∴，∴， ∴。 ⑵由，得：或， ∴的解集为：。 例8、。 由图可知： ，∴或1（舍）。 练：1、； 例9、⑴；⑵； ⑴，作图①可知：当时，取最大值2。 ⑵，，， 当即时，， 由得：， ∴时，，时，， 时，，时，。 ∴，∴。 练：2、⑴单调递减区间：，单调递增区间：；⑵； ⑴ 由图可知：单调递减区间：，单调递增区间：。 ⑵ 数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点），方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。——星空学习 6 解题不总结，等于竹篮子打水。 b b 1 1 o y x 2 1 1 2 o y x 1 o x y o 3 2 1 2 y x ① ① 例8 例5