第十二章直线(一).docVIP

高中起点升本、专科数学（理科） 　直　线 直线的倾斜角和斜率 1．在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫做直线的倾斜角。 当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 直线的倾斜角的取值范围是 2．一条直线的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。斜率常用来表示，即 当为锐角时，；当为钝角时，；当时，值不存在；当 时，如果是直线上的任意两点，那么这条直线的斜率　　 当时，直线平行于轴或与轴重合，倾斜角，斜率不存在； 当时，直线平行于轴或与轴重合，倾斜角，斜率 直线方程的各种形式 名称 已知条件 方　程 说　明 斜截式 斜率和在轴 上的截距 不包括轴和平行于 轴的直线 点斜式 点和斜率 不包括轴和平行于 轴的直线 两点式 点和 点 不包括坐标轴和平行于 坐标轴的直线 截距式 在轴上的截距是， 在轴上的截距是， 不包括经过原点的直线 以及平行于坐标轴的直线 一般式 不同时为零 几种特殊的直线的方程： 平行于轴的直线　（且为常数）； 轴　　　　　　　； 平行于轴的直线　（且为常数）； 轴　　　　　　　； 经过原点（不包括轴）的直线　 三、两条直线的位置关系 已知两条直线的斜截式方程分别为　 1．两条直线平行的充要条件是　且 当且时，两条直线重合。 2．两条直线垂直的充要条件是　 3．两条直线交点的坐标 已知两条直线的方程分别为　 解方程组如果方程组有唯一解，这个解就是两条直线交点的坐标；如果方程组无解，两条直线平行，没有交点；如果方程组有无穷多组解，两条直线重合，有无穷多个交点。 四、点到直线的距离 点到直线的垂线段的长，叫做点到直线的距离。 设点到直线的距离为，则 五、两条直线所成的角 两条直线相交构成的不大于直角的角，叫做两条直线所成的角，简称夹角。 设已知两条直线的方程为它们的夹角为 如果，则 如果，则　（） 典型例题 例1已知经过点和点的直线的斜率是，则 解：， 例2经过点，倾斜角的正弦等于的直线方程是 解：，，，， ，。经过点，倾斜角的正弦等于的直线方程是或 例3经过点，且过直线和的交点的直线方程是 解：先求出与的交点，，， ，经过点，且过直线和的交点的直线方程是 例4过点且平行于直线的直线方程是 解：两条直线若平行，它们的斜率应当相等。直线的斜率为， 过点且平行于直线的直线方程是：， ，，， 例5过点且垂直于过，两点的直线的直线方程是 解：两条直线若垂直，则它们的斜率互为“负倒数”，或者它们的斜率的乘积为 ，所求直线的斜率，过点且垂直于过，两点的直线的直线方程是：，， ，， 例6若直线过第一、二、三象限，则（） （A），（B），（C），（D）， 解：选（A） 分析：用特例分析方法，大家知道，是正比例函数，当时特例，它表示过原点的一条直线，且为一、三、象限的角平分线。而是一次函数，当时的特例，它是经过第一、二、三象限，且平行于的一条直线。请大家画出图形（略），把斜截式形式的直线方程改写为直线方程的一般式：，则，，，显然， 如果本题不是单一选择题，而是这样的讨论题：若直线过第一、二、三象限，则，，系数之间应当满足什么关系？就不能用特例分析法来分析，而应当改用一般分析法来讨论，具体的分析过程略去。 例7已知为任意实数，则直线一定经过点（） （A）（B）（C）（D） 解：选（B） 分析：将选择分支的点的坐标依次代入中，若能满足，则该点必定为所选。把代入， 我们考察选择分支一般都是按照顺序（A），（B），（C），（D）进行，如果，正确的答案是选（D）的话，手工计算的工作量就比较大了。 例8直线方程与两条坐标轴围成的三角形面积等于 解：可以将直线方程改写为截距式：，，，则直线与与两条坐标轴围成的三角形面积为（面积单位）。 ，，，（面积单位）。 ****** 例9　若，，，那么直线一定经过（　　）。 　　A．一、三象限　B．一、二、四象限　C．二、三象限　D．二、三象限 答案：B． 分析：用特例法，设，，那么直线， 即（截距式），该直线与轴与轴的截距都等于1，故直线 一定经过一、二、四象限，从而直线也一定经过一、二、四象限。 例10　直线与直线的位置关系是（　　）。 　　A．平行　B．垂直　C．相交但不垂直　D．不能确定，与的取值有关 答案：C． 分析：因为故两条直线不平行，排除A； 又因为直线的斜率为，直线的斜率为， 这两条直线的斜率的乘积，可知两条直线不垂直，排除B； 故两条直线的位置关系是相交但不垂直。 注意：把直线方程的一般式转化为斜截式之后，就能确定出直线的斜率。 例如：（一般式），，（斜截式）。 研究两条直线的位置关系时，经常要把直线转化为斜截式。通过两直线的斜率和截距的关系，来判断它们的位置关系，所以务必要熟练掌握把直线方程转化为斜截式的方法