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魅力数模 美丽师大 浙江师范大学第十三届“同梦杯”数学建模竞赛 自信 创新 合作 快乐 A B 论文题目 地板砖铺设问题 编 号 1153 评 分 监 制：浙江师范大学数学建模研究会（2014年5月8日） 地板砖铺设问题 摘要 地板砖铺设问题是实际生活中常见的一类问题，本文通过对题中所给户型，在用同种地板砖和用不同种地板砖两个情况下进行分区计算，分析数据，得到所需费用最少的铺设方案，从而探究降低板砖铺设费用和提高地板砖利用率的方法。 对于问题一，本文通过题目信息，将铺设地板砖所需的总费用分为购买成本、切割成本和安装成本，并分析切割成本及安装成本的特殊性，建立用于计算地板砖铺设总费用的函数。 对于问题二，首先，使用ps软件补充题目提供的户型图中缺失的长度数据，得到完整标准的户型图。为解决在铺设地砖、填补空白区域的过程中，凸形区域很难满足每块地板砖只能切割一次的要求，我们将房屋简化为了13个矩形区域，在问题一模型的基础上，结合高斯函数，分别求得不同的地板砖铺设所需的总费用，计算对应的地砖块数、利用率和总费用。 对于问题三，为使计算简便准确，我们将房屋分为10个区域，并划分为矩形区域和凸形区域两组。首先明确各种地板砖混合铺设时，大面积地板砖优先考虑、整块地板砖优先选择的原则。在铺设地板砖的过程中，先铺设800mm*800mm的地板砖，并计算各、区域的剩余面积，之后利用其它型号地板砖对空白区域进行铺设，利用穷举法进行计算（从矩形区域和凸形区域两组中分别举出一例在文中详细分析、计算该区域最低成本的铺设方案，其他区域铺设方案放在附录中，不再赘述），得出各方案的总费用，并结合其中某些铺设方案的特殊性及其之间相似性，简化计算过程。最后通过分析、比较，得到所需费用最低的铺设方案，计算其总费用、地板砖利用率和所使用的各种尺寸地板砖的块数。 对于问题四，本文结合所建数学模型、算法和实际计算结果，联系实际情况，为地板铺设提出几点意见： 关键词：高斯函数 一、问题重述 已知所要铺设的户型图，及工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数。若每块地板砖只能沿平行于边长的方向进行切割，最多只能切割一次，人工切割费用与切割长度成正比。 问题一：综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。 问题二：设计一种算法，在使用同种尺寸的地板砖进行铺设时，进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。 问题三：分析、解决允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设时，如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。 问题四：根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。 二、问题分析 对于问题一，分析确定铺设总成本的组成成分。根据铺设模型分别对各因素建立函数表达式，进行求和，得到地板砖铺设总成本的函数模型。 对于问题二，使用单一尺寸的地板砖进行铺设，则依此求出每个区域地板砖铺设的块数、利用率和费用，进而求出整个房屋所用的地板砖的块数、利用率和费用。判断地板砖块数时刻可使用高斯函数，并使用0—1规划来限制地板砖的铺设方式。结合问题一中所建立的铺设总成本的函数模型，得到结果。 对于问题三，由于可以使用多种尺寸的地板砖进行铺设，铺设方式有很多种，因此先确定性价比最高的地板砖，本着成本最低的原则优先进行铺设。对于空白区域，使用不同尺寸的地板砖进行切割后填补，尽量使得铺设的总成本最低，同时地板砖的利用率高。详略结合地分析各种铺设方案，找出总费用最小的地板砖铺设方案，然后计算其地板砖铺设总费用、总块数及利用率，得到最优结果。 对于问题四，综合对比、分析前三题所得到的结论，以此为依据提出关于地板砖铺设的意见和建议。 三、模型假设 1、假设在对区域铺设地砖时，可以忽略墙的厚度。 2、假设切割费用与切割的长度成正比，总成本只是地板砖的本身费用和切割费用之和。 3、假设地板砖的铺设没有缝隙间隔，所有的地板砖厚度相同，相邻砖之间严格无缝连接。 4、假设地板砖只在运输过程中被损坏，在切割过程中不会被损坏，不会出现损耗。 5、假设破损的地板砖不能继续利用。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次。 四、符号说明 不同尺寸的地板砖的编号（i=1,2,3,4,5） 对区域不同区域的编号（j=1,2,3,4,5,6,7,8,9） 地板砖单位长度的切割成本 第i种型号的地板砖的单价 所需第i种型号的地板砖的个数 破损概率