第十三章经典功率谱估计.pptVIP

4. 直接法和间接法估计的质量 的频率分辨率是指 保持真实功率谱 P(ejω)中两个靠的很近的谱峰仍被分辨出来的能力。决定 分辨率的主要因素是所使用的数据的长度，也即数据窗 d0(n) 的宽度。若数据的长度为 tp，采样频率为 fs，采样后的点数为 N，即 tp=N/fs，那么，估计谱 的分辨率正比于 fs/N 或 2π/N 。长度为 N 的各种窗函数，其主瓣宽度为 2kπ/N ，所以的分辨率也正比于 2kπ/N 。若P(ejω)中有两个相距为 BW 的谱峰，为了要区分他们，则要求 这样，数据的长度 N 应该满足： 为了保证 的分辨率，希望 N 要大。但增大 N 时，又使起伏加剧。 4. 直接法和间接法估计的质量 当 MN-1 时，直接法和间接法估计出的结果 和 不相等， 是对 的平滑。此时： 间接法也是一种有偏估计。由于在 上施加了一个较短的窗口，使得间接法估计的偏差大于直接法，但方差小于直接法。 谱的平滑（方差的减小）是以频率分辨率为代价的。由于V(ejω)的主瓣比W(ejω)的主瓣宽，因而致使其分辨率下降。 4. 直接法和间接法估计的质量 对 ，在 0 ω (π-B1/2) 的范围内，当 |ω2- ω1| B1 时，  和 是不相关的，这时主瓣的宽度B1=4π /N。对，  ,也可认为在上述频率范围内，当 |ω2- ω1| B1时， 和 是不相关的。不过此时的 B1=4 π /M ，因为MN-1，所以 B1 增大。因此临近频率上的估计值变得较为相关。从这一角度也可以解释 对 平滑的原因。 5. 直接法估计的改进 直接法的估计结果 性能不好。当数据长度N太大时，谱线起伏加剧， N 太小时，谱的分辨率又不好。因此需要改进。这里所说的改进，主要是改进其方差特性。 间接法是对直接法的一种改进，又称为周期图的平滑。 对直接法进行改进的另外一种方法是所谓的平均法，其指导思想是把长度为 N 的数据 xN(n) 分成 L 段，分别求每一段的功率谱，然后加以平均，以达到减小方差的目的。几种主要的改进方法： Bartlett 法 Welch 法 Nuttall 法 5. 直接法估计的改进 由概率论可知，对具有相同均值 μ 和方差 σ2 的独立随机变量X1, X2, … , XL, 新随机变量 X =（X1+ X2+ … + XL）/L 的均值也是 μ，但方差为σ2 /L 。此即 Bartlett 法的指导思想。 将数据分成 L 段，每段的长度都是 M，即 N = LM，第 i 段数据为： 然后分别计算每一段的功率谱： 求平均，得到平均周期图： 的均值为： 式中 D1(ejω) 是矩形窗d1(n) 的频谱， W1(ejω) 是 d1(n) 做自相关所得到的三角窗 w1(n) 的频谱，w1(n)的长度是 2M-1。因为W1(ejω)主瓣的宽度远大于W(ejω) ，所以平均后偏差增大，分辨率下降。 M 的选择主要取决于所需的分辨率。因为 W1(ejω) 的主瓣宽度是4π/M，若 P(ejω) 中有两个相距为 BW 的谱峰，为了要分辨它们，需要 4π/MBW，即 M4π/BW。如果数据长度 N 已确定，根据所需的 M，L 也就自然被确定。如果 N 可以变化，则应根据方差的要求确定 L，然后再确定要记录的数据长度 N。 M 5. 直接法估计的改进 5. 直接法估计的改进 Welch 法是对 Bartlett 法的改进。改进之一是在对 xN(n) 分段时，允许每一段的数据有部分的交叠。例如，若每一段数据重合一半，这时的段数： 式中 M 仍然是每段的长度。 改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗，例如汉宁窗或汉明窗，记之为 d2(n) 。 按Bartlett 法求每一段的功率谱，记之为 ，即 其中 U 是归一化因子，使用它是为了保证所得到的功率谱是渐进无偏估计。 5. 直接法估计的改进 如果 d2(n) 是一矩形窗，则平均后的功率谱为： 其均值为： 记 D2(ejω) 是 d2(n) 的频谱，及 则有： （证明过程略） 5. 直接