第十一章隐函数深大版.pptVIP

* * * * * * * * * * * * 但通常情况下, 要想从约束条件中解出m个函数是困难的, 所以我们引进一种非常有效的称为拉格朗日乘数法的方法来解决条件极值问题. 设 L(x1, ?, xn, ?1, ?, ?m) ? f (x1, ?, xn) 称之为拉格朗日函数, 辅助变量?1, ?, ?m称为拉格朗日乘数. 通过以下方法求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法. 定理 设在条件(2)的限制下, 求函数(3)的极值问题, 其中 f 与?k在区域D内有连续的一阶偏导数. 若D的内点(x1(0), ?, xn(0) ),是上述问题的极值点, 且雅可比矩阵 的秩为m, 则存在m个常数?1(0), ?, ?m(0), 使得 (x1(0), ?, xn(0), ?1(0), ?, ?m(0))为拉格朗日 函数(4)的稳定点, 即(x1(0), ?, xn(0), ?1(0), ?, ?m(0))为下述n?m个方程 的解. 方法 构造(拉格朗日)辅助函数 拉格朗日乘数法 求辅助函数的驻点 [解] 令 长方体的最大体积一定存在，且拉格朗日函数的驻点唯一，故体积最大值必在该驻点取得。 令 例某公司拟通过报纸及电视两种方式做某种产品的广告,根据统计资料,销售收入R(百万)与报纸广告x1(百万) 及电视广告费用x2(百万)之间的关系有如下的经验公式: R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22 (1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略. (2)若提供广告费用为1.5(百万),求相应的最优广告策略. 解 最优广告策略就是使利润最大化的投资方案 (1)利润函数为 =15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22－(x1+x2) L=R－C =15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22 由 解之,得 x1=0.75, x2=1.25. 因驻点唯一,且实际问题必有最大值,故报纸投入0.75(百万),电视投入1.25(百万)可获得最大利润. (2)若广告费用1.5(百万),则需要求利润函数 L=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22 在x1+x2=1.5(百万)的条件下的极值,用拉格朗日乘数法. 拉格朗日函数 =15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22+λ(x1+x2－1.5). L(x1,x2,λ) 由 解之,得x1=0, x2=1.5 因驻点唯一,且实际问题存在最大值,故1.5(百万)元的广告费用全部用于电视广告可获得最大利润. 显然,把x1=1.5－x2代入L(x1,x2)中,将其化成一元函数求极值也非常方便. §11.3 条件极值 定理: 设 与 的所有偏导数在点 的某邻域 连 续，且矩阵 的秩为2，若 是函数 在满足联系方程组 的极值点，则存在常数 及 的四个坐 标 必同时满足，下列方程组 引入辅助函数,转化为 令 一、空间曲线的切线与法平面 1. 空间曲线L由参数方程 L: x ? x(t), y ? y(t), z ? z(t), ? ? t ? ? 表示.求曲线L上某一点P0(x0, y0, z0)处的切线与法平面方程, 这里 x0 ? x(t0), y0 ? y(t0), z0 ? z(t0), ? ? t0 ? ?, 并假定方程中的三个函数在t:? ? t ? ?处可导, 且 [x(t)]2 ? [ y(t)]2 ? [z(t)]2 ? 0. §11.4 隐函数存在定理在几何方面的应用 在曲线L上点P0附近选取一点 P(x, y, z) ? P(x0??x, y0??y, z0??z), 于是连接L上的点P0与P的割线方程是 其中 ?x ? x(t0 ??t) ? x(t0), ?y ? y(t0 ??t) ? y(t0), ?z ? z(t0 ??t) ? z(t0). 以?t除上式各分母, 得 当?t ? 0时, P ? P0, 且 即得曲线L在P0处的切线方程为 当x(t0), y(t0), z(t0)不全为零时, 它们是该切线的方向数. 过点P0可以作无穷多条直线与切线l垂直, 所有这些直线都在同一平面上, 称这平面为曲线L在点P0处的法平面.法平面方程为