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第三章 三角形 专项训练（八） 【典型例题】： 例1：在 1）已知： 2）已知： 3）已知： 解：1） ∴（勾股定理） ∵ ∴ ∴ ∴ 2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 强调：写解的过程中，一定要先写上在哪 个直角三角形中 例2：已知等边三角形的边长是6cm 求：1）高AD的长 2）的面积 提示：要求AD将它放在哪个三角形中，又需求出哪边？用什么方法求：若将AD边放在中，由于AC=6cm，再求出DC的长为3cm，用勾股定理求得， 再求面积。 解：1）∵是等边三角形，AD是高 ∴ 在中，AB=6 BD=3 由勾股定理 ∵ ∴ 2） 例3：已知中，AD是BC边中线，AE(BC于E，AB=12 BC=10 AC=8 求DE 解：∵AD为中线 ∴BD=DC=5 设DE=x ∵AE(BC 中， ∴ 中 ∴ 由（1）（2） ∴DE=4 例4：已知中，(C=90( AB=75cm AC∶BC=3∶4 求：AC、BC的长 解：设 中，由勾股定理 ∴ 例5：已知，AB=AC=20 BC=32，(DAC=90( 求：BD的长 解：过A作AE(BC于E 设BD= x ∴BE=EC=16 中 中 中 ∴ ∴BD=7 例6：若(ABC的三边a、b、c满足条件 判断(ABC的形状 解：∵ ∴ ∴ 又∵ 即 ∴(ABC为直角三角形 例7：已知(ABC中，AB=AC (BAC=90(，D、E在BC上，且 (DAE=45(若BD=2 CE=3 求：DE的长 分析：(BAC=90(，(DAE=45(=(BAD+(CAE 则可以把(DAE分为两个角分别等于(BAD与(CAE，又AB=AC，那么可取角的边长等于AB，即得出两对全等三角形，应用全等三角形对应用相等定理。将其转化为直角三角形，应用勾股定理得DE的长。 解：以AD为角边作(DAF=(BAD 且AF=AB 由于(BAC=90(，(DAE=45( ∴(FAE=45(－(DAF=45(－(BAD=(EAC AB=AF AD=AD ∴(ABD(AFD（SAS） ∴(B=(DFA=45( 同理(EFA=(C=45( ∴(DFE=(DFA＋(EFA=90( DF=BD=2 同理EF=CE=3 Rt(DEF由勾股定理 例8：已知四边形对角线垂直相交 求证 证明：依题意，由勾股定理 Rt(AOB中 （1） 同理 （2） （1）+（2） 又由勾股定理 ∴ 例9：已知(ABC中，(C－(B=60( 求证：(A=90( 分析：若(A=90(则(B＋(C=90( 即（60＋(B ）＋(B=90( 所以(B =15( (C=75( 证明题中，只有对45(、30(角时有定理可用， 因而常添加辅助线，使其成为 45(、30( 角，再证：例如延长AC使其或为等腰三角形，再证锐角为45( 证明一：延长AC到D，使AD=AB，连结BD作CE(BD于E，则(1＋(2=(D， (2=(3－(D ∵(C－(B=(3－(1=60( ∴(2=60(＋(1－((1＋(2) ∴(2=30( ∴CE= ∴ ∵ ∴ ∴ED=CE ∴(D=45( ∴(1+(2=45( ∴(A=90( 证明（二）： 作正三角形BDC作DE∥AC交AB于E点，连结CE 设(ABC=( 则(ACB=60(+( ∴(DBE=60(－( ∵(ACB=(ACD+(BCD=60(+(( ∴(ACD=(( ∵DE∥AC ∴(CDE=( ∴(BDE=60(－( DE=BE CD=CB ∴CE是BD的中垂线 ∴(BCE=(DCE=30( ∴(AEC=30+( ∴AE=AC ∴BE=AB-AC ∵ ∴ ∴(DEB=90( ∴(BAC=90( 【专项训练】： 一、填空： 1 、用数学表达式表示勾股定理 2、在(ABC中(C=90( (A=30( 则a∶b∶c= 3 、在(ABC中(C=90( AB=12 cm AC=BC 则BC= 4、(ABC中(C=90( (