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数学开放题汇编 3 1.　如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）． 分析　本题是条件开放型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理．因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可．显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC。因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1．由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可． 　点评AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件． (a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由． 分析　本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力. （1）∵f(x)是奇函数，∴f(–x)=–f(x)， 即　，∴–bx+c=–bx–c，∴c=0． ∴f(x)=.由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0． 当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得. ∴x＞0时，，当且仅当　， 即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2 ① 又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ． ② 把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=． （2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称， P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)， ∴　　, 消去y0，得x02–2x0–1=0 解之，得　x0=1±,　∴P点坐标为()或()． 进而相应Q点坐标为Q（）或Q(). 过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求． 点评　充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证．　 3.假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择． （1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？ 分析　方案的选择是要通过计算、通过推理来比较方案1与方案２之间的大小关系，之后作出判断的． 设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n； 在该公司干10年(20个半年)， 方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元； 方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋=63000元． (2)　设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为： Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋=500n2＋500n， T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋=600n2＋300n， 令T2n≥Sn即：600n2＋300n500n2＋500n，解得　n≥2，当n=2时等号成立． 所以，如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案． 点评　本题是方案选择型问题，类似的问题就是：联通手机和移动手机的资费选择问题，请你自己编出一道实际应用性问题，然后去解答之． 4.椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点F1（c，0）（c0）的准线L与x轴相交于点A，|OF1|=2| F1A|． 求椭圆的方程； 过椭圆C的左焦点F2作一条与两坐标都不垂直的直线L1，交椭圆于P、Q两点，若点M在x轴上，且使MF2为△MPQ的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点； （3）根据（2）中的结论，猜测椭圆左特征点的位置． 分析 从特殊的椭圆性质，，猜测一般椭圆