3.5无穷小量与无穷大量.doc.docVIP

§3.5 无穷小量与无穷大量 本节主要教学内容：无穷小量与无穷大量的概念、关系与性质；无穷小量的比较；等价无穷小量在计算极限中的应用。 教学方法与设计：以极限的定义讲授无穷小量与无穷大量的概念，便于学生理解；以极限的性质讲授无穷小量的性质，便于学生掌握；重点讲授无穷小量与无穷大量的特殊性及无穷小量在计算极限中的应用；并多以例题训练之。 在极限存在的变量中有一类特殊的变量，这就是无穷小量；在极限不存在的变量中有一类特殊的变量，那就是无穷大量。因此讨论无穷小量与无穷大量的概念、关系与性质对于研究极限有着特殊的意义 一、无穷小量 1、无穷小量的定义 在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量称为该过程中的无穷小量。 例如：若，则f(x)称为x→x0时的无穷小量。 又如：若，则称为无穷小量。 2、无穷小量的性质 （1）有限个无穷小之量和仍是无穷小量 （2）有界量与无穷小量之积是无穷小量 （3）有极限的变量可以表示为一个常数与一个无穷小量之和，反之亦然。即 证明（1）用运算法则 （2）（3）用定义 说明：（1）无穷小量极限存在局部有界，反之皆不一定； （2）不能把无穷小与很小的数混为一谈，任何非零实数均不是无穷小，所有实数中只有零是无穷小； （3）无穷多个无穷小之和不一定是无穷小；两个无穷小之商不一定是无穷小； （4）性质（3）反映了有极限的变量与无穷小的关系，它表明：任何有极限的变量皆可转化为无穷小进行研究。 （5）有界量的定义： 若f(x)在内有界，则称f(x)为时的有界量。 若f(x)在内有界，则称f(x)为x→∞时的有界量。 例：求下列极限 （1） ；（2）；（3） 解： 二、无穷小量阶的比较（无穷小趋于零的速度问题） 例如： 高阶无穷小量： 设时 若，则称f(x)为g(x) 当时的高阶无穷小量，或称g(x)为f(x)当时的低阶无穷小。记为 特别地：若，则 2、同阶无穷小量 若＞0，＞0，使有≤≤，则称与为时的同阶无穷小量。 特别地：若，则与必为时的同阶无穷小量。 例1：x→0，1-cosx是x的高阶无穷小； x→∞，是的高阶无穷小。 例2：x→0，1-cosx是x2的同阶无穷小； x→0，与x是同阶无穷小； x→0，与x3是同阶无穷小； x→0，与是同阶无穷小。 3、等价无穷小 若，则与是当时的等价无穷小量，记为 例：是等价无穷小量。 是等价无穷小量。 说明：（1）等价同阶，反之不一定。 （2）显然等价无穷小量具有传递性。即：当时有，则当时有。 4、几个符号——兰道符号（Landau） （1），记为 （2）若＞0，有≤L，记为 说明：（1）这里当时，与不一定趋于零； （2）同阶无穷小，反之不一定。 （3）若，反之不一定。 特别地，若在有界，则f(x)=0(1) (x→x0) （4）所表示的等式不是数值相等，而是表示函数所具有的性质，这里的等式表示“属于”的意思。 例： ，如就属于该函数类或它们具有该性质。 （5）所表示的并不一定是无穷小之间的关系，但它们可以表示无穷小的比较。 例 ：； 。 （6）兰道符号可以进行运算，但这类运算不是数值运算，而是表示某种性质，左边是条件，右边是结论。 例：，它表示：若函数当时有 ，而函数满足，则有，即 5、阶无穷小量 若，则称当时是的阶无穷小。 例：当x→0 时， 是的2阶无穷小，而是的阶无穷小 说明：并非所有无穷小都能进行比较 例：；与。 6、等价无穷小量在极限计算中的应用 设在有定义，且则 （1）若 ，则 （2）若，则 证明：（1）由条件知，所以有 同理可证（2） 例（1） （2） 解（1）因为当时，，故有 （2）因为当时，，而，所以有 从此例可以看出：若已知同阶无穷小量，则可得到等价无穷小量。 例如，则 特别注意：在利用等价无穷小的代换求极限时，只能代换乘积或商的因子，不能用于加法之中。 三、无穷大量（非正常极限） 在极限不存在的一类变量中，有一种特殊的变量，在某变化过程中它虽然不趋于一个常数，但其绝对值无限增大，有明显的变化趋势，这就是无穷大量。 例： 1、无穷大量的定义 在自变量的某一变化过程中，绝对值无限增大的变量称为该过程中的无穷大量。 （1）设在内有定义，＞0，＞0，有， 则称为时的无穷大量，记为 （2）＞0，＞0，有 （3）＞0，＞0，有 （4）＞0，＞0，有 说明：（1）小结表示变量变化趋势（过程）的不等式： 条件:;结论： （2）至此极限的定义基本讲完，共有28种，具体： 自变量： 函数： （3）G为任意大的正数，则均为任意大的正数，而皆为任意小的正数。 （4）无穷大无界极限不存在，反之皆不一定。 ＞0，＞G ＞0＞G 例： （5）不能把无穷大与很大的数混为一