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称为数域p上的不可约多项式,如果它不能表成数域p上的两个次数比p(x)
§1－5 因式分解定理 Definition1.数域P上次数≥1的多项式p(x)称为数域P上的不可约多项式,如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积. 不可约多项式的定义和性质 与素数定义中排除 1 那样, 不可约多项式的定义象排除零多项式和零次多项式, 即 次数大于零的多项式才有可约性问题, 另外应注意可约性是与数域紧密相关的. *一个多项式是否不可约是依赖于系数域. 不可约多项式的因式只能是非零常数和自身非零常数倍,反之亦然. *不可约多项式p(x)与任意多项式f(x)的关系只有两种:p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 ? 因式分解及唯一性定理 : 数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都唯一的分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.如果f(x)有两个分解式，则其不可约多项式的个数相同，且适当的排列因式的次序后，对应的两个不可约多项式只相差一个非零常数。 证明：（用数学归纳法） 思考题 1.多项式的因式分解与系数域有什么 关系? 2.实数域上不可约多项式,分别在有 理数域和复数域上是什么多项式? 3.设f(x)是4次多项式,请在实数域上写出f(x)的可能的标准分解式. 结合初高中阶段的因式分解知识，理解好因式分解定理，用这个理论指导初等数学的有关问题。 作业:P45-15 例如,在有理数 域上不可约的多项式 x2－2 在实数域上是可约; 在实数域上不可约的多项式x2+2 在复数域上是可约； C[x]上的不可约多项式是一次式 R[x]上是可约的多项式是一次式或 判别式小于零的二次式 Q[x]上的不可约多项式可以是任意 次的,例如对任意正整数n, xn+2 是Q上的不可约多项式. 数域P上多项式可唯一的分解成不可约多项式的乘积； 标准分解 复数域上不可约多项式都是一次式; 标准分解式: 实数域上不可约多项式是一次式或判别式小于零的二次式;标准分解式: 有理数域上存在任意阶数的不可约多项式.
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