4.2實數的完備性.pdfVIP

4.2 實數的完備性 有理數和實數都是有序集而且都有四則運算，到底有理數缺了什麼呢？這就是我 們下面要討論的完備性 （completeness ）。什麼是完備性？為什麼有理數　具有 完備性而實數確有呢？在定義完備性之前，讓我們直觀地看看。想像我們在“數 2 線＂上行走，如果我們只能落腳在有理數上，那麼我們就無法走到 。事實上， 考慮集合A , B 定義如下， + 2 A {x Q | x 2 } + 2 B {x Q | x 2 } 若我們要從集合B 集合A ，那麼我們只好跳過去，因為中間有個“洞＂。 定義 令S 為一有序集。 若A 為一S 的非空子集，我們說A 有上界 （bounded above ），若且唯若， M S 使得 x M , x A . 在這個情況下，我們稱M 為A 之上界 （upper bound ）。 我們說A 有下界 （bounded below ），若且唯若， m S 使得 m x , x A . 在這個情況下，我們稱m 為A 之下界 （lower bound ）。 我們說A 有界 （bounded ），若且唯若，A 有上界且A 有下界。 注意：若A 有上界(下界) ，A 之上界(下界)不唯一。 例： + 2 + 2 考慮Q 為有序集，而A {x Q | x 2 }, B {x Q | x 2 }為Q 之子集。 (i) 由於2 A , 1 B ， A, B 非空。 (ii) 因為x A 或 x B , x 0 ，所以A , B 均有下界。 1 國立交通大學理學院 應用數學系 白啟光老師 (iii) B 有上界。 假設x B ，則x 2 2 22 ；因此x 2 （為什麼？）。 故 x 2 , x B ，亦即B 有上界。 (iv) A 沒有上界。 (利用反證法) 假設A 有上界，令M 為A 之上界。 注意：若x A 且y x ，則y A 。 假設 x A 且y x ，則y 2 x 2  2 ，所以y A 。 因為M 為A 之上界，且2 A ，因此2 M M 1 ，所以M 1 A 。 但由M 為A 之上界，得知 M 1M 因此我們得到矛盾。故A 沒有上界。 定義 令S 為一有序集且A 為一S 的非空子集， 我們說M 為A 之最大元素 （maximum ），若且唯若， M A 且 x M , x A ； 記做 M max A 。 我們說m 為A 之最小元素 （minimum ），若且唯若， m A 且 m x , x A ； 記做 m min A 。 註：若M max A ，則M 為A 之上界；若 m min A ，則m 為A 之下界。換句 話說，A 中存在最大（小）元素是A 有上（下）界之充分條件。 令S 為一有序集， A 為一S 的非空子集且A 有上（下）界，A 中是否一定存在 最大元素（最小元素）呢？ 注意：A 中　存在最大值的意思是