2.5實數.pdfVIP

2.5 實數 由於記數的須要人們發展出自然數N （或正整數）及自然數的四則運算。自然數 的減法運算產生了負整數，負整數可以表達生活經驗中負債或虧損情形；而自 然數的除法運算則產生了分數Q （有理數）。這樣夠了嗎？由畢氏定理，兩股都 是 1 的直角三角形，它的斜邊長是一個很奇怪的數字，此數的平方等於2 。現在 2 2 2 我們將之稱為2 的平方根，記為 。 有多大？有時候我們會將 看成 1.414 2 來作計算，但 1.414 並不是 ，因為1.414 的平方是 1.999396 。事實上，因為 1.414 的最後一位數字是4 ，所以平方後的最後一位數字一定是6 ，因此1.414 的 平方不可能是2 。我們可以用同樣的理由推斷：任何一個有限位數的小數，平方 後都不會是 2 。之前我們也證明過， 2 不能表示成兩個整數的比值——我們稱 這樣的數為「無理數」。然而，若要為無理數正名我們得自問到底什麼是實數。 實數中有四則運算。嚴格說起來，實數是一個體 （field ）。 定義 所謂體 （field ）是一個集合F ，此集合中有兩個運算（operations ），我們稱之為 加法 （addition ）和乘法 （multiplication ）。並且滿足下列性質： (A) 加法公理 （Axioms for addition ） (A1) 若x F 且y F ，則x y F 。 (A2) 加法交換律：x y y x , x , y F 。 (A3) 加法結合律：(x y ) z x (y z ) , x , y , z F 。 (A4) 0 F , 使得 0 x x , x F 。 (A5) 對每一個 x F ，x F , 使得 x (x ) 0 。 (M) 乘法公理 （Axioms for multiplication ） (M1) 若x F 且y F ，則x y F 。 (M2) 乘法交換律：x y y x , x , y F 。 (M3) 乘法結合律：(x y ) z x (y z ) , x , y , z F 。 (M4) 1F , 使得 1x x , x F 。 1 國立交通大學理學院 應用數學系 白啟光老師 1 1   (M5) 對每一個 x F 且 x 0 ， F , 使得 x   1 。 x x   (D) 分配律 (  )    , x , y , z F 。 x y z x y x z   1 註：x (y ) , x  , (x y ) z , (x y ) z , x x , x x , …   y   通常表示為 x 2 x y , , x y z , x y z , 2x , x , … y 除此之外，實數還可以