實數系的建構-中研院數學研究所.pdfVIP

數學傳播 33 卷 2期, pp. 14-26 實數系的建構 林琦焜 — 導數真正是甚麼? — 答 : 極限 — 積分真正是甚麼? — 答 : 極限 — 無窮級數 a1 + a2 + a3 + 真正是甚麼? — 答 : 極限 這就導致 了底下的問題 — 極限是甚麼? — 答 : 數 所以最終的問題是 : — 數是甚麼? — Augustin Cauchy (1789−1846) — §1. 前言 西元 1872年是不平凡的一年, 這一年, 有好幾位 (五位! Weierstrass, Dedekind, M´eray, Heine, Cantor) 數學家同時提出了實數系統建構的理論。 他們不約而同地出版他們的著作討 論困惑人們 2500 年之久的無理數問題, 他們出發點不同, 方法也各異, 但他們都把有理數當做 已知的東西, 從而描述實數系統。 他們描述的方法雖異, 但從數學的結構觀點來看, 所描述的卻 是同樣的東西。 他們的目標是: 在不預先假設無理數存在的條件下, 建立一個令人滿意的無理 數理論。 然後把無理數和有理數合在一起構成實數, 之後為實數建立一個可靠的連續性理論。 如 此數學分析 (主要研究實變量的實函數), 才能有一個牢靠的基礎。 14 實數系的建構 15 圖 1. Weierstrass 圖2. Heine Georg Cantor (1845−1918) 的父母都是猶太裔, 他的父親生於丹麥的哥本哈根, 年輕時 移居俄國聖彼得堡, 1845年 3 月3 日數學家 Georg Cantor 誕生於此。 1856年舉家遷往德國的 法蘭克福, 之後 Cantor 就一直在德國接受教育, 後來進入柏林大學。 他的博士論文是從鑽研 高斯的 “Disquisitiones Arithmeticae” 得到啟發而研究不定方程。 後來在大數學家 Weier- strass 學派的影響下研究 Fourier 級數, 從而創造著名的無限數學 — “集合論”。 Charles M´eray (1835−1911) 是法國數學家, 他主要是研究 Lagrange 早年的工作, 針 對 Lagrange 只作出猜測的工作, 加以嚴格的數學證明。 他發表關於無理數的算術理論是等價 於 Cantor 的理論, 但顯然他的工作並沒有受到 Weierstrass 與 Dedekind 的影響。 Richard Dedekind (1831−1916) 是德國數學家, 他是高斯的閉門弟子 (那時高斯已 75 歲高齡), Dedekind 主要是研究 Euler 積分, 但使他名垂千古的是與 Cantor 共同創造集合 論與實數理論的 Dedekind 斷 口 (Dedekind cut), 另外根據整數論的研究, 他創造了代數 學的重要概念 — 理想 (ideal), 他取這個名稱主要是為了紀念德國數學家 Ernst Kummer (1810−1893)。 Dedekind 思想開放, 治學嚴謹, 是 1880年代勇於探討無限 (infinite) 的少數 數學家。 他是 Cantor 號召的數學同好, 他們從 1872年到 1899年書信往返達 27 年, 在彼此旗 鼓相當的對話中, 可以看見兩位智者彼此切磋琢磨互相砥礪, 在嚴厲的評論中逼對方給出最好 的數學成果。 這些書信是數學文學中最美的作品。 從技術層面而言 Dedekind 斷 口與 Cantor 的基本序列解決了實數的理論, 它們反映了 兩個互相等價的事實 : 最小上界原理 , Cauchy 的收斂性原理。 數學分