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方程式の数値解析 解析的には解が得られない 方程式を数値的に求める。 例：４次方程式 ２分法 関数が負と正となる間に必ず解が有る。 Ｃ言語における関数の利用 Ｐ６６式（４．１）の例 ニュートン?ラフソン法 関数の傾き（微係数）を用いて求析。 ニュートン?ラフソン法 Ｐ６６の式（４．１） 第４章　章末問題１ 複素数の解を求める 複素数の解を求める * * f(x) = a4x4+a3x3+a2x2+a1x1+a0 = 0 f(a)* f(b)0 x y a b x f(a) f(b) 中点の関数値を求める。 x y a b x f(a) f(b) f(c) f(a)*f(c)0 a-c 間に解 c 中点cを新たに端点bとする。 x y a b x f(a) f(b) f(a)*f(b)0 a-b 間に解 c f(a)*f(c)0 Yes No a ← c b ← c x y a b f(a) f(c) x y a b f(b) f(c) f(c) (b-a)/ce スタート x = c Yes No 例：y(x) = x2 #include math.h double y(double x) { return (x*x); } int main(void) y(a)として利用可能。 関数： y(x) = x3 + 6x2 + 21x +32 =0 初期値： a = -5 b = -1 繰返し数： n = 10000 判定値： eps = 1.0e-6 #include stdio.h #include math.h double y(double x) { return ((x+6.0)*x+21.0)*x+32.0; } int main(void) { double a, b, c, eps; int i, n = 10000; eps = 1.0e-6; a = -5.0; b = -1.0; fabs( ) のため 関数 関数値が正負となる範囲 } 解の桁数 c = 0.5*(a+b); for(i = 0; i n; i++){ if(fabs((b-a)/c)eps){break;} c = 0.5*(a+b); if(y(a)*y(c) 0.0) b = c; else a = c; } printf(x = %f\n,c); return 0; } 中点の計算 x y x0 f(x0) y = f’(x0)(x-x0) - f(x0) x1 = x0 - f(x0)/f’(x0) x y x0 x1 x2 x3 f(xi+1)e Yes No xi+1 = xi - f(xi)/f’(xi) スタート x = xi+1 x0 y x x2 x1 xi ← xi+1 y(x) = x3 + 6x2 + 21x +32 =0 の解をニュートン?ラフソン法で求めよ。 #include stdio.h #include math.h double f(double x) { return x*x*x + 6.0*x*x + 21.0*x + 32.0; } double fd(double xd) { return 3.0*x*2 + 12.0*x + 21.0 ; } fabs( ) のため 関数 導関数 double x0, x1, eps; int i, n = 10000; eps = 1.0e-6; x0 = 0.0; for(i = 0; i n; i ++){ x1 = x0 – f(x0)/fd(x0); if(fabs(f(x1)) eps){break;} x0 = x1; } printf(“x=%f\n”,x1); 初期値 y = e-x - x2 の解をニュートン?ラフソン法で求めよ。 #include stdio.h #include math.h double f(double x) { return exp(-x) - x*x; } double fd(double xd) { return -exp(-xd) -2.0*xd; } fabs( ) のため 関数 導関数 double x0, x1, eps; int i, n = 10000; eps = 1.0e-6; x0 = 0.0; for(i = 0; i n; i ++){ x1 = x0 - f(x0)/fd(x0); if(fabs(f(x1)) eps){break;} x0 = x1; } printf(“x=%f\n”,x1); 初期値 f(z) =