§2-4複數與複數平面.PDFVIP

§2?4 複數與複數平面 甲 虛數 i 的引入 為了使 x2 +1 0 有解 ，我們在實數系之外另創了一個新數 ?1 ,稱為虛數單位。 十八世紀Euler特以i 來表示 ?1 ，但當時並未普遍，直到Gauss時代才被廣泛 的使用。 1 i的性質： a i 2 3 4 ?1 b i ?1 c i ?i d i 1 一般而言：i4m+k ik ，m為整數，k 0,1,2,3 2 負數 的運算：如果a 0 ，則計算 a 時， a ?a ?i 。 2 計算： ?2 ? ?3 ？ 計算： ？ ?3 ? a ? , a 0,b 0 ? a ? ? ab , a 0,b 0 ? b 結論 1 ： a? b ? 結論 2 ： ? ? ab , 其他 b ?? a , 其他 ? b [例題1] 計算下列各小題： 3 97 102 303 27 1 i +i +i ? i ？ 2 ?27i+ ?9 ？ 4 2 3 2? ?3? ?5? 7 ？ 4 ? ？Ans ： 1 i?1 2 0 3 ? 210 4 3 i ?9 ?12 8 2 4 練習1 求 × ?5 × × ？ Ans ： i 3 30 6 ?3 ~2?4?1~ 2 練習2 若x,y 為實數，且x+y ?7,xy 4 ，求 x + y ？ Ans ：?11 乙 複數標準式與基本運算 1 複數的定義： a 假定i 表示 ?1 ，而a,b均為實數，則所有像a+bi這樣的數，都叫做複數。 所有的複數所成的集合稱為複數系。複數系 C a+b i |a,b為實數 b 複數的標準式： 實數 + 實數 i 一個複數z 寫成a+bi a,b為實數 的形式，則a+bi就稱為複數z 的標準式。 其中a稱為z 的實部 ，b稱為z 的虛部 。符號：a Re z ，b Im z 。 例如 ：3+4i的實部為 3 ，虛部為4 。2? 3 i的實部為2 ，虛部為? 3 。 c 虛數的定義： 設複數z a+bi a,b為實數 若b 0 ，則z a+bi a為實數，即虛部為 0 的複數為實數， 故實數系包含在複數系中。 a 0 , z bi , 稱為純虛數 ? 若b≠0 ，則z a+bi為虛數? a ≠0 , z a +bi , 稱為虛數 ? 數系的關係：N?Z?Q?R?C 2 複數的相等： 設z 1 a+bi ，z2 c+di a,b,c,d均為實數 ，則z 1 z2 ?a c且b d 。 3 複數的加減乘除：設a,b,c,d為實數 a 加法： a+bi + c+di a+c + b+d i b 減法： a+bi ? c+di a ?c + b ?d i c 乘法： a+bi × c+di ac ?bd + bc+ad i 例如 ： 3+5i 2?4i a+bi ac+bd bc ?ad d 除法：若c+di≠0 ，則 2 2 + 2 2 i c+di c +d c +d 2+3i 例如 ： 1+4i e 複數運算的定義能像實數運算一樣滿足交換律、結合律、分配律。 ~2?4?2~ 3-i ?9 403 [例題2] 化簡 2+5i 7+3i + 為標準式。 Ans ： + i 2+4i 10 10 1 1 3 [例題3] 設複數z 的虛部為? ，且 的實部為 ，則z ？ 2 z 5 1 1 3 1 Ans ：? i 或 ? i 6 2 2 2 [例題4] 求8+6 i 的平方根。 Ans ：3+i ，?3?i 。 2 1 1 ?9 練習3 設z ∈C ，且實數Re z ， 的虛部Im ，求z ？ 3 z z 13 2 2 4 Ans ： + i 或 + i 3 3 9 練習4 求 5+12 i 的平方根。 Ans ：± 3+2i 練習5 將下列各複數化成 a+bi 的形式： 1 1 ?2?3i ? ?2 ? 2 i 2 2+5i ?7?2i 5+3i 3 2? 3i 2+ 3i 4 2+7i ~2?4?3~ 3 31 29 Ans ： 1 ? + ?3+ 2 i 2 ?4?39i 3 5+0 i 4 ? i 2 53 53 4 共軛複數： a 設複數z 的標準式為a+bi ，我們稱a ?bi為a+bi的共軛複數。 符號z a?bi 。即a+bi與a ?bi互為共軛複數。 a+bi + a?bi 為實數 a+bi × a?bi 為實數 例如 ：3 +4