第一章复数和复变函数.doc.docVIP

Chapter 1 复数和复变函数 一、复数的基本概念 Basic concepts of complex number 形如 ， 的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子） 复数（Complex number）的三种形式： 1 ，（） 代数式：;（缺点：无法表示多值函数的高相位） 三角式：; 指数式：， 其中 . 称为欧拉公式。 2 一些术语（terminology）和符号 notation : , 实部（Real part）, ，虚部（Imaginary part）. ，模（Modulus）, 称为幅角（Argument），记作. 而将满足或的值称为幅角的主值或主幅角，记为，因此有 . 当取时，有关系 3 ，称为的复共轭或共轭复数 Complex conjugate of ，当然，也是的复共轭。 注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 **的充要条件为; 复数的几何表示： 复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点或与复数或做成一一对应， 此时的平面称为复平面, 其自由矢量为 复数的运算规则： 设 ， . 1 加法： 满足交换律和结合律。 减法：. 加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。 2 乘法：（）——和多项式乘法一样 , 乘积的模 模的乘积。 ，乘积的幅角 幅角的和。 特别地，. 乘法的几何解释：在0x轴上取单位线段0I， 作和相似，那么P点就表示乘积 这是因为 3 除法：假设, ，. 几何解释（）：先看 ，若 ，过点作射线Oz的垂线，交单 位圆周于T，过T作单位圆周的切线， 这条切线与Oz的交点就是，而它 关于轴的对称点为. 设点到的距离为， 解得 若，只需先作切线，再作垂线。若，. 4 整数幂： , ----De Moivre公式。 复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式） 1）， 三角形两边之和大于第三边; ， 三角形两边之差小于第三边。 证明：利用, 2）. 3）. . 复球面与无穷远点： 考虑一半径为R的球面S（），点 0,0,0 称为南极，与复平面的原点重合，点 0,0,2R 称为北极，记为N. 对于C中的任一有限远点，它与N连接的直线只与S交于一点，反之，球面S上任意一点（N点除外），它与N连接的直线也只与C交于一点. 所以，除N点外，球面S上的点和复平面C上的点都是一一对应的。对于N点，我们发现，当时，，因此在复平面C中引进一理想点，作为与N对应的点，称为无穷远点，记为。加上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为。不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样，与S建立起来的一一对应，称为球极射影。S称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模，而幅角是不定的。 **同样对于点，模为0，幅角是不定的。 ***：作变换，或复球面均是就大而言，其中为N与点之间的距离。 二、复变函数（Functions of complex variable） 1. 区域的概念： 点集：由复数点组成的集合。 例如，，表示以原点为圆心，半径为1 的圆（单位圆）的内部。 ，表示以为焦点，半长轴为2的椭圆。 点的邻域：对于实数，满足条件的点的全体称为点的邻域，记为。 点的邻域：满足条件（R是正实常数）的所有点z的集合，即以点为圆心，R为半径的圆的外部，记为。 点集E的内点：设平面上给定一点集E，如果及其某邻域的点全部属于E，则称为点集E的内点。 点集E的外点：设平面上给定一点集E，如果及其某邻域的点全部不属于E，则称为点集E的外点。 点集E的边界点：设平面上给定一点集E，如果的任一邻域中都含有E和非E的点，则称为点集E的边界点。 区域D：满足下面两条的点集称为区域。 D为开集: D中的每一点都是内点区域全由内点组成； D是连通集: 对于D中的任意两点，总可以用某一曲线段连接起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集区域内点联通。 闭区域：由区域D及其全部边界点所组成的点集，闭域D通常记为. 单连通域：在连通域D中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于D，则称D为单连通域。否则称D为复连通域。 有界域D：若存在有限大的圆，使得，则称D为有界域，否则为无界域。 复变函数： 复变函数定义：若对于复平面上区域D中的每一个复数，按照一定规律，都有一个（或几个）复数值w与之相对应，则称w为的复变函数 单值函数（或多值函数） ，区域D称为定义域。复变函数有两种表示形式： ， （）, ， （均为实变量的二元实函数）。 例如： （1） 平移变换 （2） 旋转变换 （3） 缩放变换 （4） 设， 三步：1/旋转；2/缩放；3/平移. （5） （广义）反演变换。如果,则 就是的复共轭；如果