類數為2的二次代數複數體的畢氏數-NationalKaohsiungNormal.PDFVIP

類數為 2 的二次代數複數體的畢氏數 251 國 立 高 雄 師 範 大 學 高雄師大學報 2004,17,251-266 類數為2 的二次代數複數體的畢氏數 ＊ 李珠矽 摘要 本文中求出所有類數為2 的二次代數複數體的畢氏數。 關鍵詞：數論、畢氏數、二次代數複數體 ＊高雄師範大學數學系副教授 252 高雄師大學報 第十七期 “The Pythagorean Numbers in the Complex Quadratic Field with Class-number Two” Ju-Si Lee ＊ Abstract In this paper, we find all Pythagorean numbers in the complex quadratic field with class-number two. Keyword: Number Theory, Complex Quadratic Field, Pythagorean Number. ＊ Associate Professor, Department of Mathematics, National Kaohsiung Normal University 類數為 2 的二次代數複數體的畢氏數 253 §1. 引言 在二次代數數體Q D 中，其中 D 沒有平方因子的整數，所有的代數整數形成一個環，我們以 O D 表示。以下我們把O D 中的代數整數簡稱為整數，而Z 中的整數改稱為有理整數，Z 中的質 數改稱為有理質數，但是O D 中並未定義奇數與偶數，因此Z 中的奇數、偶數、奇質數和偶質數仍 然沿用原來名稱。則 1 當 D ≡2或3 mod 4 時，O D a +b D | a, b ∈Z ， D ≡1 mod 4 時， ?a +b D Z ? 。 2 當 O D ? | a, b ∈ , a ≡b mod 2 ? ? 2 ? 若α , L,α ∈O D ，則 α , L,α η α +L+η α |η , , L,η ∈O D 稱為α , L,α 所 1 k 1 k 1 1 k k 1 k 1 k 生成的理想。由一個整數α所生成的理想 α 稱為主理想。以下所要討論的都是非零理想。 如果A α , L,α 和B β , L, β ，則 α β , L,α β , L,α β , L,α β 稱為A 和B 的乘 1 k 1 l 1 1 1 l k 1 k l 積，以AB 表示。乘法滿足交換律、結合律、指數律和消去律。 設A 和B 是二理想，若存在一個理想 C 使得A BC ，則稱B 整除A ，以B|A 表之，B 和 C 稱為A 的因子。B|A 若且唯若A ?B 。一個不同於 1 的理想如果只有 1 和本身的因子，我們稱之為質理想。利 用質理想的性質，我們有理想的唯一分解定理：任一個不同於 1 的理想都可以唯一分解為質理想的乘積。 設 α∈O D 而A 為一個理想，如果A | α ，則謂A 整除α ，以A |α表之。設α, β ∈O D ， 如果A | α?β ，則稱α與β 對模A 同餘，記為α≡β mod A 。很明顯的，≡為一個等價關係，因此 可以對O D 分類，並以N A 表示其類數，稱為A 的範式，則N AB N A N B 。若 ??a +b D , a, b ∈Z, 當D ≡2或 3 mod 4 α ?a +b D ， ?? 2 , a, b ∈Z, a ≡b mod 2 , 當D ≡1 mod 4 則 ??a 2 ?Db 2 , 當 D ≡2或 3 mod 4 2 2 N α ?a ?Db 。 ?? 4 , 當 D ≡1 mod 4 N α 為奇數的充要條件是 引理 1 ： 1 當D ≡2 mod 4 時，a 是奇數。 2 當D ≡3 mod 4 時，a 和b 是一奇一偶。 a b 3 當D ≡1 mod 8 時，a 和b 都是偶數且 和 是一奇一偶。 2 2 a b 4 當D ≡5 mod 8 時，a 和b 都是奇數、或a 和b 都是偶數且 和 是一奇一偶。 2 2 254 高雄師大學報 第十七期 α 和 β 使得 α A β B ，則稱A,B 屬於同一理想類，以A~B 對於二理想A 和B ，若有二主理想 表示。~是一個等價關係，其類數以h D 表之，稱為Q D 的類數。 以下我們以 M 表示O D 上的所有理想的集合，H 為所有主理想的集合，當 h D