複數的概念與應用-Math.Dep.ofNTNU.PDFVIP

複數的概念與應用 李恭晴教授 複數的概念與應用 1 i是什麼？ i 真的存在嗎？ 假設我們已經知道實數集合 R ，我們把形如a +bi a, b ∈R的數稱為複數，其 中 i2 ?1 或 i ?1 。現在，我們要問的問題是i 真的存在嗎？如果i存在，是不 是唯一的？如果不是唯一，那麼 i是指哪一個呢？又如 2 +i 與 2i又是什麼東西呢 + 真的等於2嗎？……諸如此類的問題纏繞不i ？i 和實數真的能相加或相乘嗎？ i i 清，難怪以前的人把不是實數的複數都稱為虛數－－虛無縹緲的數。 為了釐清這些疑點，數學家遂重新由實數創造複數。設 C a , b ; a , b ∈R 在 C中規定加法與乘法如下： a b + c d a +c b +d , , , , , , a b ? c d ac ?bd ad +bc 在這個規定之下，我們可以證明 C中元素對於這兩個運算滿足下列八個條件： i [ , , ] , , [ , , ] a b + c d + e f a b + c d + e f a b + c d c d + a b ii , , , , iii a, b + 0, 0 a, b a b + ?a ?b iv , , 0, 0 a b ? c d ? e f a b ? c d ? e f v [ , , ] , , [ , , ] a b ? c d c d ? a b vi , , , , vii a, b ? 1, 0 a, b a ?b 若 a, b ≠ 0, 0 ，即a ≠0或 b ≠0 ，則 a, b ? , 1, 0 viii 2 2 2 2 a +b a +b 另外， C中的元素也滿足分配律 [ , , ] , , , , , a b + c d ? e f a b ? e f + c d ? e f 也就是說 C; + , i 構成一個體 field 。因此C中的元素都可以做加、減、乘、除的 運算除數不能為 0 ，正如實數集合R中的元素可以做四則運算一樣。所以， C中 的元素也可以看做是「數」 ，我們把這種數叫做複數。 2 實數是複數的一部分嗎？ 實數如 2 、3 、 2 、……等是不是複數？到目前為止，我們的複數是具有 a, b a, b ∈R ，這種形式的數才是複數。2 、3 、 2 、……等都不具有 a, b ，a, b ∈R ， ，這種形式，它們還不能算是「複數」。 1 複數的概念與應用 李恭晴教授 現在，我們令 A a , 0 ; a ∈R 則 A是 C的子集合 subset 。再令φ為從R 到A的函數，其定義為 φ a a ，?a ∈R , 0 我們可以證明φ是從 R 到A的 1-1 、映成函數且滿足 i φ a +b φ a +φ b φ a ?b φ a ?φ b ii 也就是說函數 φ保持加法與乘法運算因此也保持減法與除法運算 。就這兩種數來講 ，除了名稱a 與 a, 0 不同之外，它們相對的加、減、乘、除的結果完全相同，也 就是說 R ; + , i 與 A ; + , i 的結構相同，我們稱 R ; + , i 與 A ; + , i 同構 isomorphic 。 既然結構相同，我們就可以把實數 a和複數 a, 0 看做相同，記成 a, 0 a 、 a a, 0 。所以實數2 、3 、 、……分別代表複數中的 2, 0 、 3, 0 、 2, 0 、 2 ……它們都可以說是複數。也就是說，我們可以把實數集合R視為複數集合 C的子 集合，而 C; + , i 是 R ; + , i的擴展體。 現在，在 C中，我們把 0, 1 叫做 i ，也就是以i 表示複數 0, 1 ，則複數 a, b可 以寫成 a b a + b a + b ? a +b ?i , , 0 0, , 0 , 0 0, 1 也就是每一個複數都可以寫成 a +bi ，a, b ∈R ，之形式記得， a 表示 a, 0 ，b 表 示 b, 0 ，i 表示 0, 1 。 bi 表示 b, 0 ? 0, 1 b ?i i +i 0, 1 + 0, 1 0, 2 2, 0 ? 0, 1 2i 又 i2 i ?i 0, 1 ? 0, 1 ?1, 0 ?1 3