科目数学年级高一教师何智理-天津一中.docVIP

科目：数学 年级：高一 教师：刘汝励 2001—2002第一学期第十四周 [本周学习进度] 本周我们将学习3.4等比数列、3.5等比数列的前n项和. 3.4小节介绍了等比数列的概念、通项公式、等比中项以及等比数列的判定方法.3.5小节通过具体例子说明怎样推导等比数列的前n项和公式，并补充了等比数列的性质，总结了等比数列的解题方法，其中重点是等比数列的概念、通项公式以及前n项和公式，难点是等比数列的性质以及实际应用问题. 通过本周的学习，大家应掌握有关等比数列的概念、性质、公式，并能解决分期付款、零存整取以及其它与等比数列有关的应用问题。更重要的是从中培养自己分析问题，解决问题的能力. [重点知识分析和讲解] 1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比. 注：用递推关系表示等比数列就是，这一公式是判断一个数列是否为等比数列的标准.当|q|1，等比数列各项的绝对值递增；|q|1，等比数列各项的绝对值递减；|q|=1，数列是常数列，因此，任意一个非零的常数列是公比为1的等比数列. 2．基本公式 （1）通项公式：an=a1qn-1 注：由，知等比数列的通项公式是一个不为0的常数与指数式的积（当q=1时，看作是退化的指数式） （2）前n项和公式：， Sn=na1. 注：由等比数列的前n项和公式可得：,根据前n项公式的这个特点，可由一个数列Sn的表达式，判断这个数列是否为等比数列. 3．等比中项：若三个数a,G,b成等比数列，那么G叫做a,b的等比中项，且G2=ab（或 注：一个等比数列从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项. [典型应用] 例1 设数列{an}的前n项和为Sn，若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2且n∈N），试问{an}是等比数列吗？ 分析 一个数列是否为等比数列可通过来判断，其中q为非零常数，因此，应设法由关于Sn的递推公式中导出关于an的递推公式，然后对照该式进行判断. 解 由Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2,n∈N),得: Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1) ∴an+1=2an ∴a2,a3,…,an,…构成等比数列 说明 判断一个数列是否为等比数列，其方法总结如下： 解答本题时应注意引起的，所以判断此数列是否为等比数列，必须验证是否也等于2. 例2 一等比数列的第1项为1，第9项为6561，求第5项 解 a5可以看作是a1与a9的等比中项，则a52=a1·a9=6561 ∴a5=81（只取正号） 说明 一个等比数列的各项只能有这样四种情况：要么每一项都是正数，要么每一项都是负数，要么正负相间，等比数列的结构可形象地表示为++++…，----…，+-+-…，-+-+…因此等比数列的奇数项符号是一致的，与首项符号相同，而偶数项却可能取正负两个值. 例3 等比数列{an}的前n项的和与积分别为S和T，数列 证明 由题意，设{an}是公比为q的等比数列，则 说明 在应用等比数列求和公式时，若不能确定公比q的取值，一般应按q的取值是否为1分类讨论. 例4 在等比数列{an}中，已知a3=2,a7=6,求q、a15和a20 . 说明 解2中应用了等比数列的性质：在等比数列中，an=ak·qn-k,则， 例5 在等比数列{an}中，a2+a5=18,a3·a4=15,求an 分析 由已知很容易想到要先求a1,q，再由通项公式求an，那么，还有没有更为简便的解法呢？ 说明 在等比数列{an}中，若m+n=s+t, m,n,s,t∈N*，则am·an=as·at 例6 公比为2的等比数列中，若S2k=510,S3k=8190，求Sk及k之值. 分析 在等比数列中，依次每k项之和仍为等比数列，公比为qk. 例7 七个实数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积之差为42，又首尾两项与中间项的和为27，求中间项. 分析 这是等差数列与等比数列的综合应用题，解决问题的关键是巧妙地设出数列中各数. 说明 当知三数成等差数列且知三数之和时，将这三数设为a-d,a,a+d；当已知四数成等差数列且知四数之和时，将这四数设为a-3d,a-d,a+d,a+3d；当已知三数成等比数列且知三数之积时，可将这三数设为，a,aq，当已知四数成等比数列且知四数之积时，可将这四数设为. 例8．已知 （1）设、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列.