向量代数与解析几何答疑解惑.PDFVIP

向量代数与解析几何答疑解惑 问题 1 向量在轴上的投影与向量在轴上的分量是同一概念吗？ 答：不是，前者是一个数量，它等于该向量的模乘以向量与轴正向夹角的余 弦；后者是一个向量，它等于向量在该轴上的投影乘该轴正向的单位向量. 例如，α 2i =−3 j +k ，它在 y 轴上的投影为-3，而在y 轴上的分量为−3j . 问题2 何谓自由向量？在直角坐标系下，它与空间某一点以及以该点为终 点的向径有何联系？ 答：所谓自由向量，是指向量经过平移后，所得到的向量与原向量相等，即 自由向量与向量起点位置无关. 在直角坐标系下，空间任意向量（自由向量）均 可以将起点移至原点，而终点便是空间中某一点M ，向量OM 称为向径（或称 为位置向量）.因此，在建立坐标系后，空间任意向量与某一向径相等. 而向径与 空间点是一一对应的. a b 问题3 如何用数量积来表示一个向量 在另一向量 上的投影？ a ⋅b b 答：由 a b a ⋅b a b cos =a, b 得Pr ⋅ cos = , ⋅ ，即 在 上 j a a a b a b b b 的投影等于a 与b 同方向的单位向量的数量积. 类似可得b 在a 上的投影等于b 与a 方向的单位向量的数量积. 问题4 向量积是否满足交换律？ 答：向量积不满足交换律，即a ×b ≠b ×a ，但满足反交换律，即a ×b =−b ×a . 问题5 为什么三个向量a,b,c 的混合积记为(a,b, c) ？ 答：由于(a ×b) ⋅c a =⋅(b ×c) ，即三矢混合积与“点乘”“叉乘”的位置无 关，故三个向量的混合积可不必写出“点乘”，“叉乘”的符号，简记为(a,b, c) 即可. 问题6 平面解析几何中的二次曲线和空间解析几何中的柱面有何异同？ 1 答：平面解析几何中的曲线和空间解析几何中的柱面在方程的形式上是一致 的.但所表示的意义是不同的.例如，方程 2 3 x +y 1在 中表示一条直线，而在 2 2 2 3 中表示平行于z 轴的平面. x +y 1在 中表示一个圆，而在 中表示母线平 行于z 轴的圆柱面. 问题7 二次曲面的一般方程形式如何？它的标准方程又有何特点？ 答：二次曲面的一般方程形如 ax2 +by2 +cz2 +d xy +d xz +d yz +e x +e y +e z + f 0 1 2 3 1 2 3 其中a,b,c, d ,e , f ( j 1,2,3) 均为常数，且a,b,c, d , d , d 不全为零. 它的标准方 j j 1 2 3 程中一个最显著的特点是不含交叉项，即d ( j 1,2,3) 0 .另一