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无穷等比数列各项的和（校级） 堡镇中学 汤威 一．教学目标 1、掌握无穷等比数列各项的和的定义及公式的推导； 2、理解无数个数的和与有限个数的和在意义上的区别； 3、在利用等比数列各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，培养和提高数学的应用意识。 二．教学重点 等比数列各项和的定义及公式的推导； 等比数列各项和在一些简单的实际问题中的应用。 三．教学难点 正确理解无穷等比数列各项和的定义 四．教学过程 教师活动 学生活动 点评 新课引入 问题：和1哪个数大？为什么？ 为解决这一问题，可以引导学生回答以下问题： 1. 如果你认为，那么比1小多少？ 2. 如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？ 3. 有同学这样思考： 他的说法正确吗？你能否利用现有的数学知识来解释一下？ 4．有同学利用极限的思想来解释了为什么。我们能否换一个角度来看一下呢？事实上 你能否作出合理的解释。 学生以小组为单位进行讨论，然后展示他们的结果。 （大部分学生会回答，部分学生知道但无法说明理由。针对这一现象教师通过一系列问题的设计引导学生逐步认识到的原因。） 对于问1，估计学生会回答：。教师应该引导学生认识到，即得极限为0。 对于问2，引导学生认识到不存在满足条件的实数a，由实数的稠密性可以说明 对于问3，进一步让学生明确是正确的，从而引导学生思考为什么在一开始会出错。 估计，此时会有学生构造数列，学生会认为。此时，学生将和极限联系在一起，教师因引导学生从另外一个角度看问题。 二、等比数列各项和公式的推导 师：在刚才的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限。请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？ 问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下。 引导学生通过讨论后，指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在。 然后师生共同推导时，无穷等比数列前n项和的极限如下： （） 让多名学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列各项和的定义。教师加以点评后，用投影显示正确的定义： 我们把的无穷等比数列前n项和当时的极限叫做无穷等比数列各项无穷等比数列各项和的和，并用符号S表示，即 说明： 显然：1），不存在 2)不存在() 3），不存在 4）， 注意： 1）无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系； 前n项之和是数列中有限个项的和,是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别,我们是不可能把它们所有的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求得,是用有限的手段解决无限的问题；公式表明它只求公比 的无穷等比数列各项的和.由无穷等比数列各项的和公式 可知,求一个无穷等比数列各项的和,只要求出数列的首项与公比即可解决问题例1:在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点、，得矩形；取、DC中点、，得一小矩形；再取、中点，得一小矩形；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和。 例2:由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。: 将 无 限 循 环 小数 化为分数，并求 的值。 学生很容易构造出一个首项为，公比为的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1。 此时，教师引导学生思考这道题目本身能够说明什么问题？ 教师应引导学生体会： 无穷等比数列各项的和是实际存在的，是能够达到的。同时，让学生反思的理由。 学生活动：构造出一个首项为40cm，公比为95%的无穷等比数列，所有摆动的弧的长度和，公比为0.001的无穷等比数列。 四、学生自主小结： 问：今天我们共同探究，得出了那些结论？对于这些结论，我们需要注意些什么？回顾今天的学习过程，你有哪些收获？ 引导学生体会： 实数的加法法则不适用于无穷多个实数求和。 无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的。 无穷等比数列各项和存在是有一定条件的。 要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法。 五、作业布置 作业： 教学设计说明 本节课的关键是让学生亲身体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用。求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限存在）。一个无穷等比数列各项和存在的关键是该数列的前n项和的极限存在。为此，在课一开始我就提出问题：和1哪个大？从而引发学生的认知冲突。相当一部分学生会认为。此时，我引导学生思考以下几个问题：（1）如果，那么比1小多少？（2）如果成立，那么你能否找到一个实数a使得？ 学生经过讨论后，也可以结合初中所学的解方程知识会认识到即，的事实。然后我再引导学生思考如何解