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关于一次函数与反比例函数的交点的研究 初三（1）班 徐晶 指导教师 刘颖颋 在数学学习中，经常会遇到一次函数与反比例函数的交点的问题。在几次考试中吃了“大亏”后，我对它进行了研究并作了整理。 研究1：一次函数与反比例函数有交点的条件： 讨论一次函数与反比例函数有交点的条件就是讨论方程：有实数解的条件。易知： 当，时，或、时，即当、异号时有交点的条件都是：； 当，时，或，时，即当、同号时永远有交点。 研究2：一次函数与反比例函数的交点坐标的特点。 方程：的两个实数解（即两函数交点的横坐标）为： 与它们相对应的两个纵坐标为：。观察它们，不难发现： 点A和点B各自的横、纵坐标的积都等于反比例系数。 点A和点B的横坐标的和等于正比例函数的图像在x轴上的截距。 点A和点B的纵坐标的和等于正比例函数的图像在y轴上的截距。 当时，OA=OB 当时，点A的横坐标等于点B的纵坐标，点A的纵坐标等于点B的横坐标。 当时，点A的横坐标与点B的纵坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的横坐标互为相反数。 (当、异号时) (当、同号时) 学以致用： 1．如图，已知一次函数和反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B. ⑴求实数k的取值范围； ⑵若△AOB 的面积S=24，k的值。 解：(1)∵一次函数和反比例函数y=(k≠0)的图象有两个不同的公共点A、B. ∴方程有两个不相同的实数解。 即： 又∵反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限内。∴ (2)这里一次函数的k值为－1， 所以可设A点的坐标为（a、－a+8）；B点的坐标为（－a＋8，a） 根据题意列方程： 2．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为(，m)． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积． 解：（1）∵tan∠AOC＝∴可设AC=m,OC＝2m(m＞0) 又∵OA＝ 易知A点的坐标为（－2，1）反比例函数的解析式为 B点的坐标为（，－4）一次函数的解析式为 （2）（当然，要简单地说明理由） 3．已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）求证：与的面积相等； （2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）先设E点的坐标为（a，3）；F点的坐标为（4，b）。因为它们都在同一个反比例函数图像上，所以有 （这里其实还有：，那么我又猜测：一次函数与反比例函数的两个交点的连线平行于这两个交点在坐标轴上的射影间的连线。这个猜测对不对呢？） （2）∵ ∴ 说明了时，有最大值，最大值为3（很有意思的是，此时点E、F都在所在边的中点处） （3）将沿对折后，点恰好落在上时， 易知△EDG∽△GBF。并且还知道相似比： 而：OD＝ ∴点F的坐标为（4，） 巩固练习： 1．已知反比例函数y＝和一次函数y＝2x－1，其中一次函数的图象经过(a，b)，(a＋1，b＋k)两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)已知点A在第一象限内，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标． (3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由． 2．直线AB经过A(1，0)，B(0，1)两点，动点P在双曲线y＝ (x＞0)上运动。 （1）判断直线AB与双曲线的交点情况。并画出草图。 （2）过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N，PM，PN与直线AB分别交于点E，F．试尽可能多地找出图中的数量、位置关系． 3．如图所示，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO＝． (1)求这两个函数的解析式； (2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积． 通过这次课后研究，让我惊喜地发现我能够独立地解决一些数学问题了，增强了我学数学的信心。并且我还发现数学知识间有这么多而有趣的内在联系，在以后的学习中我一定要坚持研究找出这些联系提高我的数学水平。 当然，我的这份小论文中间一定会有很多问题的。还请大家帮我指出哦。