专题圆锥曲线的综合问题(教师版).doc(1.05m).docVIP

专题15：圆锥曲线的综合问题 一、考试说明要求 1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系及应用解题. 2.掌握函数与方程、数形结合、特殊与一般、分类与整合等数学思想方法. 二、真题演练 1．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则 2 . 2．椭圆与直线相交于两点且（为原点），则 2 . 3．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（ D ） A． B． C． D． 4．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值为 3 . 5．双曲线的虚轴长为，离心率，分别是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则 . 三、典例讲练互动 （2010浙江）例1：已知，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （1）当直线过右焦点时，求直线的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 【解析】（1）由条件有得，又因为，所以，故直线的方程为. （2）设，由得，则由 知，且有.由于，故为的中点，由，可知，.设是的中点，则，由题意可知，即，即.而，所以，即，又因为且，所以，即的取值范围是. （2010福建）例2：已知中心在坐标原点的椭圆经过点且点为右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题可设椭圆的方程为且左焦点，从而有解得，即，则椭圆的方程为. （2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以，解得.另一方面，由直线与的距离可得，从而. （2010山东）例3：如图，已知椭圆 的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该 椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和 与椭圆的交点分别为和. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线的斜率分别为，证明：； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意知，椭圆离心率为得，又，所以可解得，即，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为. （2）设点，则，所以，又点在双曲线上，所以有，即，所以. （3）假设存在常数使得恒成立，则由（2）知，所以设直线的方程为，则直线的方程为，由方程组得，设，则由韦达定理得，所以，同理可得，又因为，所以有，所以存在常数使得恒成立. 例4：已知点和定直线上的两个动点满足，动点满足（其中为坐标原点）. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与（1）中轨迹相交于两个不同的点，若，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）设（均不为）.由可得，即；由可得，即.由可得，即，即.所以动点的轨迹的方程是. （2）由题意可设直线的方程为，则.联立可得，所以且得，所以 .因为，所以，综上可知直线的斜率的取值范围为. 四、模拟考场 保证120分 1．已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与交于点，与的一个交点为，若，则 2 . 2．设为坐标原点，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在一点满足，，则该双曲线的渐近线方程为（ D ） A． B． C． D． 3．已知点在双曲线的右支上，是双曲线的两个焦点，则的内切圆的圆心的横坐标 . 4．如图，正方体的棱长为，点在上， 且，点在平面上，且动点到直线的 距离的平方与到点的距离的平方差为，在平面直角坐标系 中，动点的轨迹方程为 . 5．已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积. 【解析】由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为.设，由题意建立方程组消去得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得.又因为，由题意得，整理后得，所以，但，所以，故直线的方程为，设，由已知得，所以，又，所以点.将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以，点.点到直线的距离为.所以的面积. 6．已知两点，点为坐标平面内的动点，且满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）设过点的直线斜率为，且与曲线相交于两点，若两点只在第二象限内运动，线段的垂直平分线交轴于点，求点横坐标的取值范围. 【解析】（1）设点，根据题意，则有，，，代入得整理得点的轨迹的方程为. （2）设，由题意得的方程为，联立得，则有，因为直线交曲线于两点，则，再由，则，故，可求得线段的中点，所以线段的垂直平分线方程为，令得点的横坐标，因为